无限递归集的子集

最近的考试题如下：

$A$ 是无限递归可枚举的集合。证明具有无限递归子集。 $A$

令为的无限递归子集。是否必须具有不可递归枚举的子集？ $C$ $A$ $C$

我已经回答了1。关于2.，我给出了肯定的回答，并提出以下意见。

假设所有子集都是递归可枚举的。由于是无限的，功率设定是不可数的，因此通过假设会有很多不可数递归可枚举集。但是，递归可枚举的集合与识别它们的图灵机一一对应，而图灵机是可枚举的。矛盾。因此，必须具有不可递归枚举的子集。 $C$ $C$ $C$ $C$

这个对吗？

computability check-my-proof

— 用户名
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最后并不太正确，因为每次重置都由无数的图灵机枚举，而不仅仅是一台。不过，您可以解决此问题。

— 卡尔·穆默特

@卡尔：啊，对了，谢谢-愚蠢的错误。但是我需要的只是注入TM，而不是双射，对吗？在与我的类一起使用的图灵可计算的定义上，每个TM与一个函数关联，并且只有一个函数。因此，不同的集合->不同的识别函数->计算它们的不同TM。

— user1435

！user1435：您正在颠倒最后一句话。每个图灵机只计算一个函数，但是每个可计算函数都是从无限多的图灵机获得的。

— 卡尔·默默特

但是，如果我的函数f通过f（r）=计算它的无限多个TM中的任意一个，将{识别函数r}映射到{TMs}，我有注入，对吗？或者我想我可以通过等价关系〜来划分{TMs}，该等价关系标识计算相同功能的TM的无穷大，然后将r映射到适当的等价类。

— user1435

卡尔是对的，它们不是一一对应的，每个ce集对应于无限多个TM。考虑您在注释中所做的其他对象设置不会改变任何东西，它们不是TM的集合。

— 卡夫

它是正确的。

每个无限集合有一个不可判定的子集，你可以使用基数参数：。实际上，它的大多数子集都是不确定的（您可以用任何可数类的语言（例如，cece，算术，分析等）代替undecidable 。 $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

关于这个论点的坏事是它没有提供有关子集有多困难的任何信息。我们通常想要一个尽可能容易的子集。一种实现方法是使用类似于基数参数的对角化，并使用是可确定的事实： $C$

定义，其中是第个集合。显然。此外，可以使用的oracle来求解，并且。因此，如果是可判定的，则是一种混合语言。 $D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— 卡韦
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“每个无限集都有一个不确定的子集。” 这比我试图证明的说法要弱。我试图证明C必须具有非RE子集，而不是不可确定的子集。我的说法仍然正确吗？

— user1435

是。术语“不确定”有点重载（Wikipedia进行了很好的讨论）。因此，此答案可能表示您要证明的内容。

— 大卫·刘易斯

@ user1435，是的，相同的论点适用于任何可数的语言类，我更新了问题以使其清楚。

— 卡夫