小猫领养问题的复杂性

这是在我尝试回答有关最小化接线长度的问题时提出的 。我本来将其称为“一夫多妻制婚姻”问题，但互联网却是如此。好极了！

假设我们有需要由采用小猫ñ人，中号> ñ。对于每只小猫，我和每个人j都有一个成本c i j。我们希望将收养所有小猫的总成本降到最低。还有一组约束条件：每个人j的收养能力不超过$M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$小猫。$u_j$

没有约束，问题就很容易解决。每个小猫去与人Ĵ为其Ç 我Ĵ是最小的。有了这些约束，是否有一个针对该问题的有效算法？$i$$j$$c_{ij}$

这是最小成本最大流量问题。

考虑的曲线图，其中阿是该组的小猫，乙是该组的人。$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

令为边的容量，c ：E → R +为边的成本。我们确保$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. 有之间的边缘，其中一个我 ∈ 甲和b Ĵ ∈ 乙，和Ç （一个我，b Ĵ）= 1，Ç $a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$。$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. 有之间的边缘和一个我 ∈ 甲，和Ç （小号，一个我）= 1，Ç （小号，一个我）= $s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$。
3. 有之间的边缘和吨，和Ç （b Ĵ，吨）= Ü Ĵ，Ç （b Ĵ，吨）= 0。$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

如果最大流量为，那么我们知道存在一个解决方案。您可以从最小成本最大流构建最小成本解决方案。$M$

这是多项式的最小权重完美匹配问题。考虑完全二部图，其中大号包含一个节点升我每个小猫我，- [R由ü Ĵ节点的副本- [R Ĵ每个人Ĵ，和边缘Ë 我Ĵ ∈ Ë之间l i和r j的每个副本，权重为c i $(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$。

我们知道，否则不能将所有小猫都分配给其他人。$|L| \leq |R|$

由于完美匹配必须匹配所有节点，因此我们需要向添加虚拟节点（以获得| L | = | R $L$$|L| = |R|$），并将权重为零的边缘连接到所有节点。$R$

可能令人感兴趣的是，有人可以将“分区”缩小为此问题的一个变体。由于是分区与元素的实例用q甚至从中我们必须选择一个子集小号⊆ { 1 ，... ，q }用| S | = q / 2，使得Σ 我∈ 小号 X 我 = Σ 我∉ 小号 X 我 = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$。（请注意，选择一半元素的要求不是通常的形式，但这种形式仍然是NP-hard的。）让每只小猫都成为集合中的一个元素。让两个人在一起；设权重为和c i 2 = − x i；令u 1 = u 2 = q / 2。然后，如果分区实例具有解决方案，则该小猫收养实例的最大值为0。$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

对于最初问题的复杂性，我不确定这是怎么说的，但是鉴于经常出现的“最小化/最大化之一是NP困难的，另一个是P形式的”组合优化问题，我将开始寻找一个高效的算法。