线性规划的强对偶定理的简短证明

考虑线性程序

$$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$$

弱对偶定理指出，如果$\vec{x}$和$\vec{y}$满足约束，则 $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$。它具有使用线性代数的简短证明： $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$。

强对偶性定理指出，如果$\vec{x}$是对原始函数的最佳解，则存在$\vec{y}$是对偶的解，并且 $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$。

强对偶性定理是否也有类似的简短证明？

可能不是。这是一个基于

Farkas Lemma：下列替代方法中的一种可以解决。

1. $Ax \le b$和$x \ge 0$
2. $y^TA\ge 0$和$y^Tb < 0$

现在让为原始对象的最佳目标值。令是任意的。假设 为，最后一行附加一个令为，并附加一个作为最后一个值。$\delta$$\epsilon > 0$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$$-\delta - \epsilon$

系统没有解决方案。根据Farkas，有一个这样：$A'x'\le b'$$y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$和 。$y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

请注意，如果，则表示为Farkas的另一种选择。因此。$\epsilon = 0$$\alpha > 0$

缩放使。 是对偶可行的。弱对偶性意味着。$y'$$\alpha = 1$$y$$\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$