构造不等价的二元矩阵

我正在尝试使用元素0或1 构造所有不等式的 ×矩阵（或者，如果需要的话，则 ×）。给出等价矩阵的操作是同时交换i和j行以及i和j列。例如。对于 $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

（ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} ） 〜 （ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} ）

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

最终，我还需要计算每个类中有多少个等效矩阵，但是我认为Polya的计数定理可以做到这一点。现在，我只需要一种在每个不等价类中构造一个矩阵的算法方法。有任何想法吗？

algorithms combinatorics

— 杂种
source

至少有个。这是一个很大的数字。

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus 2013年

@Yuval：这些确实很大，根据我的计算，如果是或话，确实会有所不同。可能要花几个星期才能运行！这就是我尝试使用当前问题的所有对称性的原因。顺便说一句，这个问题源于弦论中的模型构建！:)

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

— Heterotic

您打算如何处理所有这些矩阵？您要在哪里存放它们？有什么用途？

— Yuval Filmus 2013年

想法：这与图同构问题非常相似吗？图边矩阵在哪里？除了那些是对称的...也许可以以某种方式加以利用，对此有大量的理论...

— vzn 2014年

math.stackexchange.com/questions/924745/...

— orezvani

我在回答这个问题上取得了一些进展。我在这里发布，以防其他任何人感兴趣，也因为这种构造可能对（有向）图有用。

计算每行中1的数量。令为零1 的行数，为1的行数，依此类推，直到，即具有8 1的行数。显然。经过反复试验后得出的拟参数：其中T是矩阵的迹线，如果矩阵是对称的，则S为，否则为。T从到。 $a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

（ {一种}_{1} ， \dots ， {一种}_{8}; Ť ， 小号 ）

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

从我的试验和错误看来，如果在此参数化中两个矩阵不同，则它们属于不同的等价类，因此要在每个类中构造一个代表，我们只需如上所述扫描参数空间即可。

（更新）事实证明，这种参数化在n = 2时效果很好，但在n = 3时效果不佳，这可以通过蛮力计算看出。我仍然认为它对答案的结构提供了一些见识，我邀请人们尝试对其进行修改/扩展以涵盖最常见的情况。

— 杂种
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如果可行的话，将是令人惊讶和有趣的。我看不出有什么明显的理由说明为什么这应该足够（即，为什么我们保证如果两个矩阵具有相同的参数，那么它们将在相同的等效类中）。没有任何证据，我表示怀疑。作为一个起点，你可以尝试在更小的矩阵验证这个猜想（，，...，）详尽。更好的测试方法是尝试使用SAT求解器查找您的猜想的反例。

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

— DW

@DW：确实证明了这种情况足以困扰我，我也希望得到一些帮助。对于较小的情况，我将尝试进行详尽的验证，然后看看会发生什么。谢谢你的建议！不幸的是，我不知道如何使用SAT解算器查找反例。如果猜想适用于较小的矩阵，那么我可能会开始学习...

— Heterotic

有道理，杂技！实际上，我收回了有关使用SAT解算器的声明。我也不知道如何使用SAT求解器查找反例（比起初想的要难），因此请忽略我的评论部分。对于那个很抱歉！

— DW

存在具有相同参数化的不等价矩阵。请注意，通过更改以对列中的1进行计数，您还将获得在等价运算下不变的参数化。由此我们可以得出结论，在和具有1的矩阵分别。在和（两者都剩余的条目0）不等价，但具有相同的参数化。（当然，这立即导致了改进的参数化，该参数化也考虑到了色谱柱。）

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$

— FrankW 2014年

杂乱无章，既然您知道您的答案行不通了，建议您删除您的答案，以免混淆其他人...

— DW