评估给定Bubblesort算法的平均时间复杂度。

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考虑冒泡的伪代码：

FOR i := 0 TO arraylength(list) STEP 1  
    switched := false
    FOR j := 0 TO arraylength(list)-(i+1) STEP 1
        IF list[j] > list[j + 1] THEN
            switch(list,j,j+1)
            switched := true
        ENDIF
    NEXT
    IF switched = false THEN
        break
    ENDIF
NEXT

在评估平均时间复杂度时，我必须牢记的基本思想是什么？我已经完成了最坏情况和最佳情况的计算，但是我一直在认真思考如何评估内循环的平均复杂度，以形成方程。

最坏的情况是：

\sum_{i = 0}^{n} (\sum_{j = 0}^{n - (i + 1)} O (1 ） + Ø （ 1个 ） ） = Ø （ \frac{ñ^{2}}{2} + \frac{ñ}{2} ） = Ø （ ñ^{2} ）

$\sum_{i=0}^n \left(\sum_{j=0}^{n -(i+1)}O(1) + O(1)\right) = O(\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}) = O(n^2)$

其中，内部sigma代表内部回路，外部sigma代表外部回路。我认为由于“ if-then-break”子句可能会影响外部sigma，但由于内部循环中的if-子句，我需要同时更改两个sigma。（如果为true，则为4个动作+ 1个比较，否则为1个比较）。

为了澄清术语“平均时间”：此排序算法在不同列表（相同长度）上将需要不同的时间，因为该算法可能需要在循环中/循环内执行更多或更少的步骤，直到列表完全井然有序。我试图找到一种数学的（非统计方式）来评估所需回合的平均值。

为此，我希望任何命令都具有相同的可能性。

— 辛
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6

您首先需要定义平均数的含义。由于该算法是确定性的，因此您必须假设某种在输入上的分布。

— Suresh'3

@Sim可以显示如何计算最坏情况下的时间复杂度吗？然后，我们可能会了解您的情况下平均复杂度的含义。

— 2012年

我指的是平均时间，指的是最可能需要的时间（或换句话说，是“纯”数学版本：进行统计分析时观察到的所有时间的平均值）。例如，即使快速排序的最坏情况是n ^ 2，也确实具有nlogn的平均值。

— 2012年

1

@Sim在冒泡排序平均情况下=最坏情况下的时间复杂度，即平均情况下时间复杂度也是

n^{2}

$n^2$

— 0x0

3

有区别。quicksort被平均为“在选择枢轴时选择抛硬币”，与数据无关。然而，这意味着要对“所有输入”取平均，这假设（例如）您希望输入的每个排序均以相同的概率发生。这是合理的，但应明确说明。

— Suresh'3

9

对于长度为列表，通常通常意味着您必须从所有的均匀分布开始[ ，..， ]的排列：这就是您要考虑的所有列表。 $n$ $n!$ $1$ $n$

这样，您的平均复杂度将是所有列表的步数之和除以。 $n!$

对于给定的列表，算法的步数为，其中是元素与他的正确位置之间的最大距离（但仅当它必须向左移动时），即。 $(x_i)_i$ $nd$ $d$ $x_i$ $i$ $\max_i(\max(1,i-x_i))$

然后进行数学计算：对于每个找到具有此特定最大距离的列表数，则的期望值为： $d$ $c_d$ $d$

\frac{1个}{ñ ！} \sum_{d = 0}^{ñ} d C_{d}

$\frac1{n!}\ \sum_{d=0}^n{\ dc_d}$

这是最基本的想法，没有发现最困难的部分。也许有一个更简单的解决方案。 $c_d$

编辑：添加了“预期”

— 疯狂
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如果考虑正态分布，有没有办法近似？

c_{d}

$c_d$

— 2012年

您可以说因为您可以将[，..， ]的所有排列混合在一起并在末尾附加，但这对于证明的平均值很小。

c_{d} \geq (n + 1 - d) (d - 1)!

$c_d≥(n+1-d)(d-1)!$

2

$2$

d

$d$

1

$1$

n ²

$n²$

— jmad 2012年

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回想一下，如果且，则对（resp。）被反转。 $(A[i], A[j])$ $(i,j)$ $i < j$ $A[i] > A[j]$

假设您的算法为每个反转执行一次交换，则算法的运行时间将取决于反转次数。

在均匀随机排列中计算预期的反转次数很容易：

令为置换，令为。例如，如果则。 $P$ $R(P)$ $P$ $P = 2,1,3,4$ $R(P) = 4,3,1,2$

对于每对索引，或一个恰好存在一个倒数。 $(i,j)$ $P$ $R(P)$

由于对的总数为，并且总数和每一对在正好一半的排列中反转，因此假设所有排列的可能性均等，则预期的反转数为： $n(n-1)/2$

\frac{ñ （ ñ - 1个 ）}{4}

$\frac{n(n-1)}{4}$

— 乔
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这将评估反转的数量。但是比较的数量如何，具体取决于中断条款进入的时间– 2012

— Sim

通过交换可以获得一次比较，最重要的是，一次交换最多可以减少一次反转。

— jmad 2012年

并非每个比较都会导致交换，如果if子句为false，则不会进行反转。

— 2012年

@rgrig如果您提供了反示例，那么我将纠正我的答案。

— 2012年

@乔：我删除了我的评论。那是错的。

— rgrig 2012年

2

交换次数<迭代次数（在优化和简单冒泡情况下）

反转数=交换数。

因此，迭代次数> $\frac{n(n-1)}{4}$

因此，平均情况复杂度为。但是，由于平均情况不能超过最坏情况，因此我们得出它是， $\omega(n^2)$ $O(n^2)$

这给我们：平均时间= $\theta(n^2)$

（时间复杂度=迭代次数>迭代次数>交换次数）

— 库什
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0

在本文中，气泡排序的平均时间复杂度达到O（nlog（n））！ http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/ViFl90.pdf

— 用户名
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1

n^{2} / 2

$n^2/2$