什么时候可以使用动态编程来减少递归算法的时间复杂度？

动态编程可以减少执行递归算法所需的时间。我知道动态编程可以帮助减少算法的时间复杂度。是否存在这样的一般条件，即如果递归算法得到满足，是否意味着使用动态编程会降低算法的时间复杂度？什么时候应该使用动态编程？

动态编程很有用，因为您的递归算法会发现自己多次遇到相同的情况（输入参数）。从递归算法到动态编程的一般转换是称为备忘录，其中有一个表存储由递归过程计算过的所有结果。在已使用的一组输入上调用递归过程时，仅从表中获取结果。这将递归斐波那契减少为迭代斐波那契。

动态编程可以更加智能，可以应用更具体的优化。例如，有时无需在任何给定时间将整个表存储在内存中。

如果您只是想加快递归算法的速度，那么记忆就足够了。这是一种存储函数调用结果的技术，以便将来使用相同参数的调用可以仅重用结果。这适用于（且仅当）您的功能时

• 没有副作用，并且
• 确实仅取决于其参数（即不取决于某些状态）。

当（且仅当）一次又一次使用相同的参数调用该函数时，它将节省您的时间。流行的例子包括斐波那契数的递归定义，即

$\qquad \begin{align} f(0) &= 0 \\ f(1) &= 1 \\ f(n+2) &= f(n+1) + f(n) \qquad ,\ n \geq 0 \end{align}$

如果天真地求值，通常以指数形式调用。有了备注，始终已经由计算出来，因此仅剩下线性数量的呼叫。˚F （Ñ ）˚F （Ñ + 1 $f$$f(n)$$f(n+1)$

请注意，与之相反，对于诸如合并排序之类的算法而言，记忆几乎是无用的：通常很少（如果有的话）部分列表是相同的，而相等检查则很昂贵（排序仅稍微贵一点！）。

在实际的实现中，如何存储结果对性能至关重要。使用哈希表可能是显而易见的选择，但可能会破坏局部性。如果您的参数是非负整数，则数组是很自然的选择，但如果仅使用某些条目，则可能会导致巨大的内存开销。因此，记忆是效果与成本之间的折衷。它是否有回报取决于您的特定情况。

动态编程完全是另一回事。适用于财产问题

• 可以将其划分为子问题（可能以多种方式），
• 这些子问题可以独立解决，
• 这些子问题的（最佳）解决方案可以与原始问题的（最佳）解决方案组合，
• 子问题具有相同的属性（或无关紧要）。

当人们引用Bellman的“最优性原理”时，通常（隐式）暗示这一点。

现在，这只是描述了一类的问题，可以通过某种递归来表示。对这些内容的评估（通常）是有效的，因为可以应用备忘录来产生很大的效果（见上文）；通常，较小的子问题是许多较大问题的一部分。流行的示例包括编辑距离和Bellman-Ford算法。