随机图中的集团数

有一个带有节点的随机图（归因于Gilbert）。每个可能的边均以概率独立地插入。让是尺寸的派系的数目在。 $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

我知道 $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ，但是如何证明呢？

如何显示 $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ 为 $n\to\infty$ ？以及如何显示 $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ 表示 $n\to\infty$ 和固定的任意常数 $c>1$ ？

— 用户1374864
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因此，基本上涉及三个问题。

我知道 $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ，但是如何证明呢？

您可以使用期望的线性度和一些巧妙的重写。首先，请注意现在，当期望，可以简单地将和求出（由于线性），从而获得通过得出总和，我们消除了节点子集之间的所有可能依赖性。因此，是集团的概率是多少？好吧，无论包含什么，所有边缘概率都是相等的。因此，

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ ，因为此子图中的所有边都必须存在。然后，总和的内部项不再依赖于，剩下。

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

如何显示： $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

我不确定这是否正确。在二项式系数上应用一个界，我们得到

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ （请注意，我大致将的上边界乘以。）但是，现在可以选择，并得出，对于大，整个项变为。您可能错过了一些关于假设吗？

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— 高清晰度媒体
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那正确吗？。是否不必为但现在我不知道如何进行

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864 2012年

我只在上应用了说绑定。对于，您可以观察到。现在，由于，我们想减小其指数（说服自己为什么）。对于相当大的，我们有。因此，上述计算应该是正确的……

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM 2012年

第三个问题是什么？

— 2012年

它遭受与第二个问题相同的问题。抱歉，我应该澄清一下。

— HdM 2012年

随机图中的集团数

我知道E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}，但是如何证明呢？

如何显示：È （X 登录2 Ñ）≥ 1n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

我知道 $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ，但是如何证明呢？

如何显示： $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$