随机图中的集团数


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有一个带有节点的随机图(归因于Gilbert)。每个可能的边均以概率独立地插入。让是尺寸的派系的数目在。nG(n,p)np X k k G n p G(n,p)pXkkG(n,p)

我知道E(Xk)=(nk)p(k2),但是如何证明呢?

如何显示E(Xlog2n)1n?以及如何显示E(Xclog2n)0表示n和固定的任意常数c>1

Answers:


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因此,基本上涉及三个问题。


我知道E(Xk)=(nk)p(k2),但是如何证明呢?

您可以使用期望的线性度和一些巧妙的重写。首先,请注意 现在,当期望,可以简单地将和求出(由于线性),从而获得 通过得出总和,我们消除了节点子集之间的所有可能依赖性。因此,是集团的概率是多少?好吧,无论包含什么,所有边缘概率都是相等的。因此,XķÈXķ= Σ Ť V

Xk=TV,|T|=k1[T is clique].
XkTTPr[T 是集团]=p k
E(Xk)=TV,|T|=kE(1[T is clique])=TV,|T|=kPr[T is clique]
TT TEXk=p kPr[T is clique]=p(k2),因为此子图中的所有边都必须存在。然后,总和的内部项不再依赖于,剩下。TE(Xk)=p(k2)TV,|T|=k1=(nk)p(k2)

如何显示:È X 登录2 Ñ1nE(Xlog2n)1

我不确定这是否正确。在二项式系数上应用一个,我们得到

p1+对数n

E(Xlogn)=(nlogn)p(logn2)(nep(logn)4logn)logn=(nen(logp)/4logn)logn.
(请注意,我大致将的上边界乘以。)但是,现在可以选择,并得出,对于大,整个项变为。您可能错过了一些关于假设吗? plognp1+logn2 p=0.001日志20.001-9.960Ñpplogn4p=0.001log20.0019.960np

那正确吗?。是否不必为但现在我不知道如何进行EXlogn= nE(Xlogn)=(nlogn)p(logn2)(nep(logn)4logn)logn
E(Xlogn)=(nlog2n)p(log2n2)(nelog2n)lognp(log2(n)e)24
user1374864 2012年

我只在上应用了说绑定。对于,您可以观察到。现在,由于,我们想减小其指数(说服自己为什么)。对于相当大的,我们有。因此,上述计算应该是正确的……plogn(nlogn)pp1Ñ日志Ñ日志ñ-1/2>日志Ñ2/4(logn2)=(logn)(logn1)/2p1n(logn)(logn1)/2>(logn)2/4
HdM 2012年

第三个问题是什么?
2012年

它遭受与第二个问题相同的问题。抱歉,我应该澄清一下。
HdM 2012年
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