DFA最多接受三个州不接受的常规语言

描述一种只有三种状态的DFA无法接受的常规语言。

我不确定从哪里开始，并且想知道是否有人可以给我一些提示或建议。我了解，抽奖引理可以用来证明某种语言不是常规语言，但是在这种情况下，它应该是常规语言。如果有人有任何想法，将不胜感激。

可以说，泵抽引是考虑到DFA中的状态数。DFA接受状态的每种语言满足以下激励条件：$L$$p$

长度至少为每个单词可以分解为，其中和，使得$w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$为所有。$i \geq 0$

您可以使用此特征来证明语言需要p + 1状态。$\{0^p\}$$p+1$

另一种方法是使用Myhill-Nerode定理。两个单词是不等价的（相对于一些语言大号如果由于某些字）Ž，要么X Ž ∈ 大号和ÿ ž ∉ 大号或周围的其他方法。Myhill-Nerode定理指出，如果存在p个成对的不等价词，则L的每个DFA 都至少具有p个状态。对于示例L = { 0 p }，您可以找到p + $x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$成对的不等词，即。$\epsilon,0,\ldots,0^p$

Yuval的答案很好。他所描述的一个更简单的表述是，有限自动机不能任意计数，而它们可以计数的数量受自动机中数字状态的限制。更准确地说，要使自动机计数到，它需要p +1 个状态（一个状态为0）。$p$$p+1$$0$

从本质上讲，这就是泵送引理背后的整个思想：如果字符串真的很长，则有限自动机必须“忘记”计数的高度并重新开始，从而使您可以一遍又一遍地重复一段，而无需关心。

因此，任何需要计数到3才能验证其中一个单词的常规语言都无法用大小为3的有限自动机来描述。

你能想到这种语言吗？（您的教授也可能希望您证明这一点很重要，尽管在我的课程中，对抽水引理的理解是理所当然的）

$a^3 a^*$$a^3$

另一个想法，对角线化！列举所有3个或更少状态的DFA，将所有DFA合并，然后取补码。这是DFA通过常规语言操作关闭的方式。这可以通过算法来构造，但是问题仅要求描述。