最佳近视迷宫求解器

我当时在鬼混Google Blocky的Maze演示，并想起了一条旧规则，那就是如果您想解决迷宫问题，只需左手紧握墙壁即可。这适用于任何简单连接的迷宫，并且可以通过有限的传感器实现。

让我们的机器人由具有以下动作和可观察值的传感器来表示：

动作：前进（），左转（），右转（） $\uparrow$ $\leftarrow$ $\rightarrow$
可观察到的：前方墙（），无前方墙（） $\bot$ $\top$

然后，我们可以将左侧迷宫求解器构建为（请原谅我的懒惰绘图）：

换能器解决迷宫

在看到可观察物的地方，将使我们在执行与该边缘关联的动作时跟随状态的适当边缘。这个自动机将解决所有简单的迷宫，尽管它可能需要花费很多时间才能走到尽头。如果满足以下条件，我们称另一个自动机优于： $B$ $A$

$B$ 仅对有限数量的迷宫采取严格的更多步骤，并且
$B$ 在无限数量的迷宫上严格采取更少的步骤（平均；对于概率变体）。

我的两个问题：

有没有比上面绘制的更好的有限自动机？如果我们允许概率传感器怎么办？
是否有一个有限的自动机来解决不一定简单连接的迷宫？

automata finite-automata artificial-intelligence

— 阿特姆·卡兹纳切夫（Artem Kaznatcheev）
source

@jmad和我在聊天中就这个问题进行了非常有成果的讨论。如果您在考虑这个问题（尤其是than的定义），那么我建议您检查成绩单。

— Artem Kaznatcheev 2012年

我看不到这个问题与AI的关系（特别是我们的代理在给定实例数据的情况下不改变其行为），但是我不是该领域的专家。

— 拉斐尔

@Raphael迷宫求解和路径查找（从BFS，DFS复习到A *，然后再开始）是AI入门课程中的基础课程。我同意，作为一种智力，这并不是特别令人兴奋的事情，但是，如果AI教给我任何东西，则大多数AI只是搜索问题。

— Artem Kaznatcheev 2012年

Answers:

如果我对问题的理解很好，我认为您可以应用加速技巧，以对无限多个迷宫获得更快的自动机（前提是出口位于边界之一）：您可以简单地使用内部状态来存储有限数量的步骤，并识别死角，如图所示：

在此处输入图片说明

当右手跟随的自动机在位置并且其状态“信号”刚好跟随一个封闭的正方形（编码为固定大小，而不是任意大的正方形）时，它可以安全地向左转并避免到达死角区。正如我在下面的评论中强调的那样，自动机将快捷方式应用于每个包含一个（或多个）“ submazes”的迷宫，就像图中的迷宫一样，因此它将在无限多个迷宫中表现更好。在不包含子迷宫的迷宫中（如图所示），其表现类似于标准的右手自动机。 $A$

以类似的方式，您可以对有限数量的不同固定大小的形状进行编码，以避免死角并加快自动机的速度。结果，对于边界位于出口处的简单连接的迷宫，没有“最佳”近视迷宫求解器。

如果将入口放置在迷宫中，将出口放置在边界内，则该技巧也将起作用。但是如果出口位于迷宫内，则无法使用，因为必须访问所有位置，在这种情况下，您的近视求解器是最佳的。

显然，您不能应用相同的技巧来解决非简单连接的迷宫（但是，如果每个未连接的组件的大小都有固定的上限，则它应该起作用）。

— Vor
source

对于边界入口（这是简单连接的迷宫的子类）的情况，这是一个很酷的技巧。它表明，在这种受限情况下，我定义的顺序没有最小元素。我不认为它可以推广到所有简单连接的迷宫（这是下面的左手设定）。

— Artem Kaznatcheev 2012年

@ArtemKaznatcheev：我认为这个技巧对迷宫同样有效，迷宫内部有入口，边界处也有出口。此外，它还可以处理（无限多个）迷宫，其中有一个迷宫，就像图中的迷宫一样。我将编辑问题以澄清这一点。

— 2012年

如果我理解正确，则可以将其解释为有限的超前行为：仅在读取了下一个符号后才输出操作。如果是这样，是的，那应该一直有效。

k

$k$

— 拉斐尔

@Raphael：我最好称其为有限的内存：如果最后步（动作）形成一个（顺时针）正方形，那么向右转会导致正方形的内部（死角），所以可以安全左转。

4 k - 1

$4k-1$

— 2012年

问题1

我认为您对“ 更好”的定义过于严格，因为“ 有限”过于严格（但我没有更好的定义）。

我们建立了一个迷宫族。每个都是一条长度为的走廊，以右转弯结束。用相同的和左，分别。我们可以建立一个换能器和最优地解决子集和分别。这样，没有任何一个传感器比或。 $R=(R_i)_i$ $R_i$ $i$ $L$ $A_R$ $A_L$ $R$ $L$ $A_R$ $A_L$

现在：给定我们可以构建，证明没有哪个求解器比更好。我的观点是，我认为我们可以对左手迷宫求解器执行相同的操作，但是迷宫的设置会更加复杂。 $A_R$ $R$ $A_R$

概率转换器可能会被排除，因为确定性转换器将在这些无限的迷宫上更快。

问题2（感谢与OP的讨论）

否。（来源：Lothar Budach的这一突破性论文。该定理在Frank Hoffmann的本文摘要中得到了更清楚的说明。）

— 疯狂
source

是的，我们需要在标准转换（例如旋转和反射）下为迷宫定义一些等效类，以使左手和右手墙遵循等效。不幸的是，您的问题1部分未回答我的第一个问题。您表明存在无与伦比的（“优于”偏序）求解器（例如，如果不进行对称假设，则为左手和右手），但不能证明没有一个是比左手好

— Artem Kaznatcheev 2012年

也就是说，如果优于是和打电话给我的左手求解是，那么你表明 ST和。我想请您说明的是，我们拥有（或）。这些是非常不同的陈述。

A

$A$

B

$B$

A \leq B

$A \leq B$

L

$L$

\exists R

$\exists R$

R ≰ L

$R \not\leq L$

L ≰ R

$L \not\leq R$

\forall A

$\forall A$

A ≰ L

$A \not\leq L$

L \leq A

$L \leq A$

— Artem Kaznatcheev 2012年

@ArtemKaznatcheev：是的，我知道它不能回答问题，我应该更加清楚。我的观点是，我认为我们可以将其应用于LH，但是对于这种容易无限的集合，过于敏感。（我认为只有当非常类似于（a的子集））

\leq

$≤$

A \leq B

$A≤B$

B

$B$

A

$A$

— jmad

我可以想到的替代定义是要求不良示例很少（而不是有限的）。多项式或更少（可能是对数）的不良示例数，还有许多：优良例子的超多项式/指数数。但是我实际上认为这是更严格的限制，因为在许多示例中，必须优于

A

$A$

B

$B$

— Artem Kaznatcheev 2012年

@ArtemKaznatcheev：您可以根据迷宫的大小进行某些操作（例如但这既是有问题的，也是不切实际的）。我们可以继续聊天。

# {A (M) < B (M) ∣ | M | \leq n} / # {M ∣ | M | \leq n} = o (1)

$\#\{A(M)<B(M) ∣ |M|≤n\}/\#\{M ∣ |M|≤n\} = o(1)$

— jmad 2012年