假设P≠NP的NP完整问题的算法的运行时范围

假设。 $P\neq NP$

关于所有NP完全问题的运行时边界，我们能说什么？

即最紧密的函数是什么，我们可以保证对于任何 NP完全问题的最优算法至少在并且在长度为的输入上最多为。 $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

显然，。而且，。 $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

如果不假设，或没有暗示的任何其他假设，我们能否对给出更好的界限？ $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

编辑：

请注意，中的至少一个 $L,U$ 必须远离我在此处给出的范围，因为它们是NPC问题，所以这些问题彼此之间具有多重时间减少，这意味着，如果某些NPC问题具有最佳的时间算法 $f(n)$ ，那么所有问题都有运行时间的算法（是否优化 $O(f(n^{O(1)}))$ 。

— RB
source

如果P NP我们可以说运行时边界大于任何多项式.... afaik不，更好的边界是未知的....很多符号都没有提到...确实存在超多项式，但是-次指数函数，例如

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn 2014年

首先，只是线性的，所以我想你的意思是，它被称为类。我完全意识到并不意味着任何NP完全功能都将在指数时间运行，但这不是我要的。例如，假设，是否有可能在解决NPC问题，其中是逆阿克曼函数？该符号仅仅是用来表达形式上我的问题的工具..

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

thx进行更正。在这方面，afaik知之甚少。试试这个问题NTime（n ^ k）=？DTime（n ^ k） tcs.se

— vzn 2014年

@RB虽然在每个“可能世界”中确实存在上下限，且上下限大致在一个多项式之内，但尚不清楚什么是先验界限是可能的。

— Yuval Filmus 2014年

我对这个问题的解释是问相对论世界中的可能性。假设在一个相对论的世界中，。我们能否就NP完全问题的时间复杂性得出任何不平凡的结论吗？在贝克-吉尔- Solovay参数表明，我们可以“迫使”一些NP问题需要指数时间，所以上的问题，势必给定基本上是最优的。 $P \neq NP$

关于下限，我们在下面画出一个证明，即相对于某些预言而言，。假设草绘的证明是正确的，我们也可以将其应用于小于，这表明问题中给出的下界本质上也很严格。 $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

证明草图。我们构造了两个预言：第一个表现为问题，第二个实现Baker-Gill-Solovay对角化。将两个预言都打包到一个预言中很简单。 $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

oracle由所有对这样是一个Oracle Turing机器，当被授予访问权限时，它将在运行时间中接受 oracles限于长度最大为。（这不是一个循环定义。） $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ $2^{\sqrt{\log |x|}}$

oracle的定义与在Baker-Gill-Solovay中定义的oracle相同：对于在时间运行的每个时钟oracle turing机器，我们都会找到一些输入长度为的“未触及”，在上运行进行步，对于每个查询到大小为的查询，我们都标记此输入不在（对于其他查询，我们也标记为输入不存在，除非我们已经确定它在）。对查询的处理方式类似（作为对隐式查询 $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ 较小的尺寸（递归处理）；通知，这样的查询别说长度的字符串在，由于。如果机器接受，我们纪念长度的所有其他字符串在失踪，否则我们挑长度的一些字符串并把它放在。 $n$ $O_2$ $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

类在于时间运行的所有程序的，使得查询大小的。类的形式为，其中依此包含在时间运行的所有程序的类中，并进行大小为 oracle查询。后者包含在，因为我们可以使用来确定它。这表明 $P^{O_1,O_2}$ $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ 。

对于另一个方向，令为每个由组成的语言，以使包含一些长度为字符串。通过构造，，而显然。这表明。 $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
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我必须设法不完全理解您的回答，但是，正如您提到的，如果某些NP完全问题仅可在，那么所有其他NPC问题也都可以只能在，因为减少它们的折时时间，这意味着否则您将有一个更好的算法。例如，这意味着和是吗？我想念什么？

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

好吧，这并不意味着，但是它的确暗示了。

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB 2014年

您什么都不会错过。在一个相对化的世界里，以太坊是真实的。还有另一个相对化的世界，其中P = NP，因此特别是ETH是错误的。

— Yuval Filmus 2014年

但是，在所有，都成立的重化世界中，不是吗？有一个机会，。根据您的回答，如果存在一个NPC问题，其下界是指数的，我想知道为什么它是正确的。

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB

在我的回答中，我（据称）给出了一个相对化的世界，其中。另一个相对化的世界具有。在其他相对论世界中，。关于，我对此没有任何要求。

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— Yuval Filmus 2014年

假设P≠NP的​​NP完整问题的算法的运行时范围

如果不假设，ETH或P \ neq NP没有暗示的任何其他假设，我们能否对L，U给出更好的界限？QP≠NPQP≠NPQP\neq NPETHETHETHP≠NPP≠NPP\neq NPL,UL,UL,U

假设P≠NP的NP完整问题的算法的运行时范围

如果不假设，或没有暗示的任何其他假设，我们能否对给出更好的界限？ $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$