蛮力Delaunay三角剖分算法的复杂度

在马克·德·伯格等人的“计算几何：算法和应用”一书中，有一种非常简单的蛮力算法，用于计算Delaunay三角剖分。该算法使用了非法边的概念-可能不会出现在有效Delaunay三角剖分中的边，必须用其他一些边替换。在每个步骤中，该算法仅查找这些非法边缘并执行所需的位移（称为“ 边缘翻转”），直到没有非法边缘为止。

算法LegalTriangulation（ $T$ ）

输入。一些三角 $T$ 点集的 $P$ 。
输出。的合法三角剖分 $P$ 。

而 $T$ 包含非法边缘 $p_ip_j$
do
$\quad$ 让 $p_i p_j p_k$ 和 $p_i p_j p_l$ 邻近于两个三角形 $p_ip_j$ 。
$\quad$ 从删除，然后添加。返回。 $p_ip_j$ $T$ $p_kp_l$
$T$

我听说这种算法在最坏的情况下会在时间内运行；但是，我不清楚这句话是否正确。如果是，如何证明这一上限？ $O(n^2)$

— 米哈伊尔·杜波夫（Mikhail Dubov）
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按照上面所述的形式，它需要

时间。但是，使用堆栈可以在

时间内完成。您可以查看这些讲义中的最后一页。基本论点是最多可以有

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

边缘翻转。

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

— rizwanhudda 2012年

@rizwanhudda：为什么不回答呢？

— 拉斐尔

Delaunay三角剖分可以认为是提升到抛物面的2d点集的下凸包。因此，如果你把你的2D点集，并分配给每一个点一个 -协调，则所述下凸包的投影到 -平面给您Delaunay三角剖分。 $(x_i,y_i)$ $z$ $z_i=x_i^2+y_1^2$ $xy$

使用这种观点，边缘是非法的意味着什么？首先，每一个三角，我们可以使用抛物线地图获得3D（三角）的表面，向下突出到。当然，该表面不一定是凸的，如果它是凸的，则将是Delaunay三角剖分。简而言之，边缘是表面凸凹形边缘的障碍。翻转此边缘时，我们仅局部更改提升表面上的情况。因此，让我们看一下4点 $(p_i,p_j)$ $T$ $T$ $T$ $(p_i,p_j)$ 。在3D中，它们形成一个四面体，向下投射到四边形。由于两个三角形和限定凹边，三角形和限定一个凸边 $p_i,p_j,p_k,p_l$ $p_ip_jp_k$ $p_ip_jp_l$ $(p_i,p_j)$ $p_kp_lp_i$ $p_kp_lp_j$ 。因此，翻转非法边缘相当于在提升中用凸边缘代替凹边缘。请注意，此翻转可能会将其他凸边变成凹边。 $(p_l,p_k)$

3D Flip interpretation 备注：图像在几何形状上不正确，应仅视为草图。

令为翻转后的三角剖分。的抬起表面“包含” 的表面。我的意思是，如果您从平面观察两个表面，则只能从的表面看到三角形（或两个表面中的三角形）。您也可以说的表面包含更多的体积。而且，当从平面观看时，边缘现在位于“ 引起的抬起表面的“后面” 。 $T'$ $T'$ $T$ $xy$ $T'$ $T'$ $(p_i,p_j)$ $T'$ $xy$

在翻转序列期间，我们得到了一系列具有严格增加的体积的曲面。因此，边缘位于所有这些表面的“后面”。因此，它永远不会在翻转过程中重新出现。由于只有选择2个可能的边缘，因此最多有翻转。 $(p_i,p_j)$ $n$ $O(n^2)$

— 舒尔茨
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