常规和非常规语言的相交和并集

令为常规，常规，为非常规。证明不规则或反例。 $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

我试过了：看。这是正常的。我可以构造为这样的有限自动机：是规则的，是规则的，因此消除对所有的路径（有限量）从用于路径的有限量。因此，整个过程只剩下有限的路径。这个东西与不相交，但是我如何证明（正则）和（非正则）的并集不是正则？ $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— 凯文
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“所以删除所有的路径（有限的）从对路径的有限数量那是什么意思- ”？构造差的自动机的常用方法是使用以及众所周知的补码和交点构造。

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— 拉斐尔

我更喜欢更改此问题的标题。问题标题本身就是一个错误的陈述。

— nitishch 2014年

Answers:

我们可以通过矛盾来证明这一点。让我们定义。然后我们可以重新制定： $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

我们知道：

常规语言在联合，交集和补语下关闭
$\overline{L_1}$ 和是常规的 $L_1 \cap L_2$
$L_2$ 不规则

现在假设是常规的：然后是常规的（因为它只是常规语言的并集/交集），所以将是规则的。这是一个矛盾，因此我们的假设是错误的，并且不能规则。 $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— 迈克·B。
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我想我明白了。但是，为什么普通语言的补充是正常的呢？我没有得到那部分。

— 2012年

@Kevin这是一个众所周知的引理，因此您应该在任何教科书中找到一个证明。一种证明方法是采用有限的自动机并交换接受状态和非接受状态：您将获得识别补语的自动机。

— 吉尔（Gilles）'所以

非确定性有限自动机又如何呢？假设我们有一个自动机。，一个初始状态，从该状态到两个箭头。这些状态之一是接受，一个则不接受。因此。如果现在我们交换接受状态，它将仍然接受，因此不能认为它接受补语！

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— 凯文（Kevin）

Gilles的证明仅适用于确定性有限自动机，对于常规语言而言，这不是一个限制。但是正如他所说，这个引理可以在任何教科书中找到。

— Mike B.

@Kevin：Mike表示每种常规语言都有确定性的自动机来识别它，因此您可以始终使用一种自动机。

— reinierpost 2012年

-4

那是错的。考虑，。是常规的，不是常规的；但是。 $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— 冯布兰德
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您未能满足正常的条件。

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Andrej Bauer