什么是双标准近似算法？

什么是双标准近似算法？在数据流群集的情况下，这种情况不断出现。这与多目标优化有关吗？

这是我遇到的地方：cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf。本文是关于k-means算法的流式版本的。论文中有参考文献，但都没有给出关于双标准近似算法的解释。我似乎也找不到在Google上能给我精确定义的任何内容。

我将通过提供基于多目标优化问题的解释来扩展Yuval Filmus的答案。

单目标优化和逼近

在计算机科学中，我们经常研究具有单个目标的优化问题（例如，在受到某些约束的情况下最小化f（x））。在证明NP完整性时，通常会考虑相应的预算问题。例如，在最大派系问题中，目标是使派系的基数最大化，而预算问题是确定是否存在大小至少为k的派系的问题，其中k作为对输入的一部分给出问题。

当不可能有效地计算最优解时，例如在最大集团问题的情况下，我们寻求一种近似算法，该函数在最优解的乘法因子内输出解。您还可以考虑预算问题的近似算法，该函数在最大化问题的情况下输出满足f（x）≥ck的解决方案，其中c是小于1的数字。在这种情况下，该解决方案可能会违反硬约束˚F（X）≥ ķ，但违反是由所界定的“严重性” Ç。

多目标优化和双准则逼近

在某些情况下，您可能希望同时优化两个目标。举一个粗略的例子，我可能想最大化我的“收入”，同时又最小化我的“成本”。在这种情况下，就没有一个最佳值，因为这两个目标之间需要权衡。有关更多信息，请参阅Wikipedia上有关帕累托效率的文章。

将两个目标优化问题转换为一个单目标优化问题（我们可以针对该目标函数的最优值进行推理）的一种方法是考虑两个约束问题，每个约束问题一个。如果问题是同时最大化˚F（X），同时最小化克（X），所述第一约束问题是最小化克（X）服从约束˚F（X）≥ ķ，其中ķ被给定为输入的一部分，以这个单目标优化问题。类似地定义第二约束问题。

针对第一个约束问题的（α，β）- 双准则近似算法是一种函数，该函数以预算参数k为输入并输出解x，使得

• $f(x) \geq \alpha k$，
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$，

其中是可实现g最佳值的解决方案。第二个约束问题的双标准近似算法输出一个解，使得$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$，
• $g(x) \leq \beta \ell$，

换句话说，双标准近似算法同时是第一个目标中的预算问题和第二个目标中的优化问题的近似值。（此定义改编自Iyer和Bilmes，2013年的“ 具有亚模块覆盖和亚模块背包约束的亚模块优化 ”的第四页。）

当目标从最大值切换到最小值，反之亦然时，不等式切换方向。

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

换句话说，双标准近似算法在达到某些近似比的同时，违反了某些约束量。有关刚刚描述的问题的双标准近似算法的示例，请参见Makarychev兄弟的这篇论文。