证明每两条最长的路径至少有一个共同的顶点

如果图 $G$ 已连接并且没有长度大于 $k$ 路径，请证明长度为 $G$ 的每两个路径具有至少一个共同的顶点。 $k$

我认为该共同顶点应该位于两条路径的中间。因为如果不是这种情况，那么我们可以有一个长度的路径 $>k$ 。我对吗？

graph-theory graphs combinatorics

— 索拉卜
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没有强烈连接的有向图的反例：顶点

，边

，

，路径

和

没有共同的顶点。

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc 2012年

@sdcvvc，您可以提供它作为答案。

@sdcvvc我想这个问题仅限于无向图。

— 拉斐尔

您可以确认（或确认）

是无向图，并且只考虑简单的（=无循环）路径吗？

G

$G$

— 吉尔（Gilles）'所以

@Gilles是，该图是无向的，路径是在其中行走的路径，其中包含不同的边和顶点。

— 萨拉巴

Answers:

承担矛盾的是 $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ 和 $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ 是在两个路径 $G$ 长度的 $k$ 没有共享的顶点。

如 $G$ 被连接，还有一个路径 $P'$ 连接 $v_{i}$ 到 $u_{j}$ 一些 $i,j \in [1,k]$ ，使得 $P'$ 股无顶点 $P_{1} \cup P_{2}$ 比其他 $v_{i}$ 和 $u_{j}$ 。比如说 $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ （注意，可能不存在 $x_{i}$ 顶点，即， $b$ 可以是 $0$ -符号是有点缺陷虽然）。

不失一般性，我们可以假设 $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ （我们总能扭转编号）。然后，我们可以构造一个新的路径 $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ （沿着去 $P_{1}$ 至 $v_{i}$ ，然后过桥形成通过 $P'$ 到 $u_{j}$ ，然后沿着 $P_{2}$ 到 $u_{0}$ ）。

显然， $P^{*}$ 长度至少为 $k+1$ ，但这与 $G$ 的长度不大于 $k$ 的假设相矛盾。

因此，长度为 $k$ 任意两条路径必须至少相交一个顶点，然后按照您的推理观察到它必须位于中间（如果只有一个）。

— 卢克·马蒂森（Luke Mathieson）
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我认为你需要

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ is right. If it went to

u_{k}

$u_{k}$ then

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

没错，公共顶点必须出现在两条路径的中间。

但是，这种直觉无法解决您要解决的实际问题。

相反，要尝试证明，在路径中的任何点处，从该点（包括该点）到原始路径两端的路径段必须严格大于完整路径的一半。

一旦证明了这一点，就可以解决您遇到的问题并验证您的猜想。

— btilly
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