存在什么算法可以求解自然数线性系统？

我在看以下问题：

给定自然数维向量和一些输入向量，是与自然数系数的线性组合吗？v 1，… ，v m u u v $n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

即是否有一些，其中？ Ù = 吨1 v 1 + ⋯ + 吨米v $t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

显然，此问题的实数版本可以使用高斯消除法解决。我想知道，是否已研究此问题的整数版本？有什么算法可以解决呢？

请注意，这是使用自然数，而不是模数，因此这与中国余数定理和类似系统有些不同。另外，它似乎与Diophantine方程有关，但是我想知道在只考虑非负整数的情况下该怎么做？这也使人联想到多维子集和问题，可以使我们对每个向量进行任意数量的复制。似乎还与测试是否是生成的晶格的元素有关，除了这里我们只允许使用非负系数的线性组合。$u$$v_1,\dots,v_m$

对于任何感兴趣的人，这都是通过查看Parikh向量是否在线性集中来实现的，就像Parikh定理一样。

特别是，我对一种可以仅使用自然数运算来解决问题的算法感兴趣，而不必使用实数/浮点数。

通过从子集总和中减少，您的问题是NP完全的（这是NP，因为所有非负数的事实都很好地限制了解决方案的系数）。给定一个实例子集和的（有没有的一个子集的总和为？），我们构造了一个实例你问题如下。对于每个，我们将设为具有两个非零条目的向量：和，并且是具有唯一非零项的向量。目标向量是小号Ť v 1，... ，v 2 Ñ，ù 1 ≤ 我≤ Ñ v 我v 我，我 = 1 v 我，Ñ + 1 = 小号我v Ñ + i v n + i ，我 = 1 u $S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$$v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$。等于每个自然组合必须精确选择的每个，因此对的子集进行编码，其总和为最后一个组件的值。$v_1,\ldots,v_{2n}$$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$