最小化向量和的最大分量

我想了解一些有关此优化问题的信息：对于给定的非负整数，找到使表达式最小的函数$a_{i,j,k}$$f$

使用不同公式的示例可能会更清楚：给您一组向量，例如

{
    {(3, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0, 0)},
    {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)},
    {(0, 0, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1, 0)}
}

从每个集合中选择一个向量，以便其总和的最大成分最小。例如，您可以选择

(1, 0, 2, 0, 0) + (0, 1, 0, 0, 0) + (0, 1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2, 1, 0)

最大分量等于2，在这里显然是最佳的。

我很好奇这是否是一个众所周知的问题，以及哪些特定于问题的近似解决方法可用。它应该快速简便地进行编程（无需ILP求解器等）。不需要精确的解决方案，因为这只是实际问题的一个近似值。

我看到我应该添加一些有关我感兴趣的问题实例的详细信息：

• $i \in \{0, 1, \ldots, 63\}$，也就是说，总是有64行（如上例所示）。
• $j \in \{0, 1\}$，即每行只有2个向量。
• $k \in \{0, 1, \ldots, N-1\}$，其中（向量长度）在10到1000之间。$N$

而且，在每一行上，所有向量的元素之和是相同的，即

并且和向量的元素之和小于其长度，即

$i$$j \in \{0,1\}$$k$$a_{i,j,k}$$i$$j = 0$$j = 1$$k$$3$

$r$$f$$k$$64$

当问题大小固定为常数时，我们无法讨论问题的复杂性，因为（大部分）复杂性理论处理问题的复杂性的渐近行为，因为问题的大小趋于无穷大。在这里，我将行数和向量的维数都视为变量。

那么即使输入中的数字以一元形式给出，问题也是NP完全的。这不是您的问题的答案，因为您要询问近似值，但这是一回事。

严格定义问题：

实例：Ñ对矢量的一个_我，b _我 ∈ℕ ^米（我 ∈{1，...，Ñ }），和ķ ∈ℕ，所有在一元。
问题：我们是否可以为每个i选择一个_i或b _i，以使这n个向量的总和在每个坐标中最多为K？

以下是一个已知的NP完全问题，称为3-partition：

3分区
实例：乙 ∈ℕ，和3 ķ整数ç ₁，...，c ^ _{3 ķ}之间乙 / 4和乙 / 2，排他的，使得Σ _{我 = 1} ^{3 ķ} ç _我 = KB在一元，所有。
问题：可以将多集{ c ₁，…，c _{3 k} }划分为k个多集S ₁，…，S _k，使得每个S _j的总和等于B？

给定3分区问题的一个实例（B ; c ₁，…，c _{3 k}），如下构造上述问题的一个实例。对于每个i = 1，…，3 k和j = 1，…，k，我们将构造一对4 k维向量，表示关于c _i是否属于S _j的选择：

• 代表选择的载体“ Ç _我 ∈ 小号_Ĵ ”仅具有一个非零项，其是（ķ -1）Ç _我在Ĵ个坐标。
• 表示选择“矢量Ç _我 ∉ 小号_Ĵ ”也仅具有一个非零项，它是乙在（ķ + 我）个坐标。

不难发现，当且仅当有一种方法可以从构造的3 k ^2的每一个中选择一个向量时，三分区问题的实例（B ; c ₁，…，c _{3 k}）才具有解。对，以便这些向量之和的所有坐标最多为（k -1）B。（实际上，发生这种情况时，总和的所有坐标都等于（k -1）B。）因此，这是从3分区问题到上述问题的简化。

到目前为止，我忽略了问题末尾提到的两个其他约束，但是只要稍加修改即可轻松实施。可以通过添加仅包含0或1的伪坐标来强制执行每个向量的元素之和相等的条件。可以通过添加仅包含0的伪坐标来强制执行此总和小于维数的条件。