二叉树的平均高度是多少？

关于二叉树的平均高度是否有正式定义？

我有一个有关使用以下两种方法查找二叉树的平均高度的教程问题：

1. 自然的解决方案可能是取从根到叶的所有可能路径的平均长度，即

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$。

2. 另一种选择是递归定义它，即节点的平均高度是子树的平均高度加一的平均值，即

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

   与对于叶子和为空时隙。l avh 2（_ ）= $\operatorname{avh}_2(l) = 1$$l$$\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

根据我目前的理解，例如树的平均高度$T$

    1    
   / \
  2   3
 /
4

第二种方法是，即使用递归。$\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

但是，我还是不太了解如何做第一个。不正确。$\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

没有理由相信这两个定义都描述了相同的度量。您也可以递归地编写：$\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

对于叶具有。如果您不认为这是相同的，请在右侧展开的定义，或进行归纳证明。$\operatorname{avh}_1(l) = 0$$l$$\operatorname{avh}_1$

现在我们看到工作方式与完全不同。虽然重一个节点的孩子们的递归高度相等（添加和除以二），根据它们包含叶子的数量重它们。因此，对于叶子平衡的树木，它们是相同的（以锚为模），在兄弟姐妹树木具有相等的叶子的意义上是平衡的。如果您用简化的递归形式，这将很明显。但是，在不平衡的树上，它们是不同的。$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$

您的计算确实正确（根据您的定义）；请注意，示例树不是叶平衡的。

编辑：杰夫在上面的评论中提到了一个很好的观点。您可能应该在以下答案中将“正确与不正确”读为“方便/一致与不一致”。

您的第二次计算似乎不正确。假设具有单个节点（即叶）的子树的高度为0。则子树根的高度为：

• 4的高度是0
• 3处的高度为0
• 2处的高度是3 +1 = 0 +1 = 1时的平均高度
• 1处的高度是2和3处的高度的平均值=（0 + 1）/ 2 + 1 = 1.5

我认为您正确地进行了第一个计算，而1.5是正确的答案。