等价关系覆盖问题（在图论中）

有限顶点集上的等价关系可以由无向图表示，该无向图是团体的不相交的并集。顶点集表示元素，边表示两个元素是等效的。

如果我有一个图形和图表，我们说被覆盖如果设定的边缘等于套边的工会。的边集不需要是不相交的。请注意，任何无向图 $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ 可以由有限数量的等价关系覆盖（即，团簇图的不交集并集）。

我有几个问题：

关于覆盖图所需的最小等价关系数，呢？ $G$
我们如何计算这个最小数字？
我们如何计算的明确最小覆盖率 $G$ ，即一组大小最小且覆盖的等价关系？ $G$
除了分区逻辑（子集逻辑的对偶）之外，这个问题是否还有其他应用？
这个问题的名称是否成立？

鉴于评论中指出的各种误解，以下是一些图片来说明这些概念。如果您有一个更易于理解的术语的想法（而不是“覆盖”，“等价关系”，“团体的不相交并集”和“不一定相交”边集并集），请随时告诉我。

这是一张图的图片及其一个等价关系：图及其覆盖的一个等价关系

这是一张图形的图片以及覆盖它的两个等价关系：图和覆盖它的两个等价关系
很明显，至少需要两个等价关系。

这是一张图形的图片以及覆盖其中的三个等价关系：图和覆盖它的三个等价关系
不太明显至少需要三个等价关系。子集逻辑对偶的引理1.9 可用于证明这是正确的。将这个引理推广到具有两个以上输入的nand运算是此问题的动机。

algorithms graph-theory clique

— 托马斯·克里姆佩尔
source

这是一个众所周知的NP完全问题。zh.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead 2014年

@StephenBly也许这是一个众所周知的问题，但是您提供的Wikipedia链接并没有真正帮助我。本文讨论了顶点覆盖问题，但是这里的问题与边缘覆盖问题有关。还应注意，等价关系不是集团，而是集团的不相交的并集。

— Thomas Klimpel 2014年

您是什么意思，等价关系是集团的脱节联盟？顶点集表示元素，边表示两个元素是等效的。如果那不是您正在使用的表示形式，则应明确说明。

— gardenhead 2014年

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

@YuvalFilmus该问题询问的等价关系的最小数目是并集恰好是给定图的边关系，而不是其并集仅包括给定图。

— David Richerby 2014年

Answers:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

有一些特殊的图类，其中确切的值或两个数字的上限都为已知。通常，据我所知，最好的界限由Alon [1]给出：

{日志}_{2} ñ - {日志}_{2} d \leq 当量 （ G ） \leq 抄送 （ G ） \leq 2 Ë^{2} （ Δ + 1个 ）^{2} \ln ñ ，

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$ 三角形和边始终是可能的（参见曼特尔定理），这是很容易找到算法为好。

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] 阿隆，诺加。“通过最小等价关系覆盖图。” Combinatorica 6.3（1986）：201-206。

[2] Blokhuis，Aart和Ton Kloks。“关于等价线分割图的数量。” 信息处理信件54.5（1995）：301-304。

[3] Kučera，Luděk，JaroslavNešetřil和AlešPultr。“三维的复杂度以及图形的一些相关边缘覆盖特性。” 理论计算机科学11.1（1980）：93-106。

— Juho
source

我从[1]中得出的推论1.3正是我所需要的（在适用于路径补充的版本中）。现在，我不再有理由不对分区中的一般含义“（A，B，C，...）隐含（Z，Y，X，...）”（从后续演算中得出）写论文。逻辑和类似的非经典逻辑。但是我想至少要再写半年。也许与此同时，我什至找到了新的借口。

— Thomas Klimpel'3

@ThomasKlimpel太好了！（不是您可能会找到新的借口的事实，但这对您有所帮助：

— Juho 2015年

尽管我不知道这个问题的名字，但我可以证明这个问题是NP难题的。

对于无三角形图，所有等价类都必须匹配。覆盖该图的最小等价类数等于该图的色度索引。

根据本文，找到无三角形图的色指数是NP完全的。

— 徐超
source