修正的Borůvka算法的更严格分析

Borůvka算法是计算图的最小生成树的标准算法之一，。 $G = (V,E)$ $|V| = n, |E| = m$

伪代码为：

MST T = empty tree
Begin with each vertex as a component
While number of components > 1
    For each component c
       let e = minimum edge out of component c
       if e is not in T
           add e to T  //merging the two components connected by e

我们将外循环的每次迭代称为一轮。在每个回合中，内部循环至少将零件数量减少一半。因此，最多有回合。在每个回合中，内部循环最多对每个边缘两次（每个分量一次）。因此，运行时间最多为。 $O(\log n)$ $O(m \log n)$

现在假设在每个回合之后，我们删除仅连接同一组件内顶点的所有边，并且还删除组件之间的重复边，以便内部循环仅查看一些边m'<m，这是最小权重边，连接两个以前断开的组件。

此优化如何影响运行时间？

如果我们以某种方式知道在每个回合中将边缘数量减少一半，那么运行时间将得到显着改善：。 $T(m) = T(m /2) + O(m) = O(m)$

然而，尽管优化将极大地减少检查的边的数量（最后一轮只有1个边，并且最多＃个零件通常选择2个边），但尚不清楚我们如何/是否可以利用这一事实来加强分析运行时。

algorithms algorithm-analysis spanning-trees

— 乔
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在最坏的情况下（一条链），您每轮将精确地删除一条边，因此您不能使用该事实来改善一般图形的边界。您可以考虑例如仅完整图。

— Xodarap

@Xodarap如果是一条简单路径（这是链的意思吗？），则在第一轮中，至少选择一半的边缘。这些边缘将从后续的回合中删除。

G

$G$

— 2012年

请注意，可以使用高度优化的联合查找结构之一来改进此算法。

— 拉斐尔

可以为一般图制作测试用例，其中Borůvka的步长不会将每一步的边数减半，即使它的顶点数也减半。有趣的是，您建议的优化适用于平面图。这是因为对于平面图 i，e。总的来说，它会加快次要封闭图族的类别。 $|E| \leq 3*|V|-6$ $|E| = O(|V|)$

参考：

硕士论文Claude Anderson（在第100页上，描述了Borůvka算法的最坏情况输入）。[链接]
“用于较小闭合图类的MST的两种线性时间算法”。数学档案40（3）：315–320，2004年。[链接]

— 里兹万胡达
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