我可以有一个“依赖的副产品类型”吗？

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我正在阅读HoTT的书，并且对第一章中的内容有一个（可能很幼稚）问题。

本章介绍函数类型 ，然后通过使依赖于来对其进行概括这就是所谓的从属函数类型。

f : A \to B

$f:A\to B$

B

$B$

x : A

$x:A$

B : A \to U, g : \prod_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$

接下来，本章介绍产品类型 ，然后通过使依赖于归纳产品类型 ，这称为依赖对类型。

f : A \times B

$f:A\times B$

B

$B$

x : A

$x:A$

B : A \to U, g : \sum_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$

我绝对可以在这里看到一个模式。

接下来，本章将介绍副产品类型 和... combobreaker ...没有讨论这种类型的依赖版本。

f : A + B

$f:A+B$

对此是否有一些基本限制，或者与本书的主题无关？无论如何，有人可以帮助我了解功能和产品类型的原因吗？是什么让这两个如此特别，以至于它们被泛化为依赖类型，然后用于构建其他所有内容？

type-theory dependent-types homotopy-type-theory

— 科斯蒂亚
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相依和是笛卡尔乘积和副乘积的共同概括。碰巧的是，HoTT本书通过泛化引入依赖和，因为这不需要首先定义布尔类型。 $A \times B$ $A + B$ $A \times B$

副产品是依存和的特例。给定类型和，请考虑类型族由和定义的。从属总和等效于。顺便说一下，您还可以将作为从属产品。 $A$ $B$ $P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$ $P(\mathtt{false}) = A$ $P(\mathtt{true}) = B$ $\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$ $A + B$ $A \times B$ $\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

您问产品和功能类型有何特别之处。和是“必需的”的原因有很多。从逻辑上讲，它们是必需的，因为它们通过命题即类型对应关系对应于和（但这仅将问题转移到“为什么和必需的？”）。就类别论而言，和是必需的，因为它们是替换的左右伴随。问一个更具体的问题，如果您想了解更多。 $\sum$ $\prod$ $\exists$ $\forall$ $\exists$ $\forall$ $\sum$ $\prod$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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你好。请问您如何显示“和分别与替换相邻”。将使用什么类别？

\sum

$\sum$

\prod

$\prod$

— ChoMedit

我猜想替换就像是对角函子，充当其索引类别。然后，也许假定的类别是类型的类别。

A

$A$

— ChoMedit

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我将在软件工程上进行更多讨论。

您是否在谈论一种协同产品类型，其后一个构造函数可以引用先前的构造函数（看起来与后者的字段可以引用先前的构造的产品非常相似）？引入HIT之后（在2.6.0版中），这在Agda中是可能的：

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

通过遵循本文，如果您的类型检查器检查使用图“（26）”中显示的语法定义的定义，我相信支持“依赖的副产品”非常简单。

— 冰1000
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