查找最长斐波那契子串的幼稚算法的复杂性

给定两个符号和，我们如下定义第个斐波那契字符串： $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

与表示字符串连接。 $\star$

因此，我们将拥有：

给定由符号形成的字符串，我们将Fibonacci子字符串定义为任何子字符串，对于和的适当选择，它也是Fibonacci字符串。 $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

问题

给定，我们想找到其最长的斐波那契子串。 $S$

对于字符串每个位置，假设从此处开始（检查第个和第个符号是否足够就足够了）。如果是这样，请检查它是否可以扩展为，然后扩展为，依此类推。在此之后，从位置重新开始。重复直到到达位置。 $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

我们必须至少一次查看每个符号，所以它是。仅涉及两个for循环，因此我们可以说它是。 $\Omega(n)$ $O(n^2)$

但是，（很奇怪的是）这种天真的算法比通常的二次算法要好得多（如果它在第个位置上做很多工作，那么在下一个位置上就不会做很多工作）。 $i$

如何使用斐波那契属性为该算法的执行时间找到更严格的界限？

algorithms algorithm-analysis runtime-analysis strings substrings

— wil93
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$F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

$N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

$F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
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