Big-Oh时间复杂度可以包含多个变量吗？

例如，让我们说我正在做字符串处理，需要对两个字符串进行一些分析。我没有给出关于它们的长度可能最终是多少的信息，因此它们来自两个不同的家庭。将算法的复杂度称为或（取决于我们使用的是朴素算法还是优化算法）是否可以接受？ $O(n * m)$ $O(n + m)$

同样，让我们假设我们选择的算法实际上需要两个阶段-第一个字符串的设置阶段，这使我们能够处理任意数量的其他字符串而不会产生初始成本。说它具有构造，再进行任意数量的计算，是否被认为合适？ $O(n)$ $O(m)$

因为两个计算都是线性的，所以仅将它们称为是否合适？ $O(n)$

— 科西卡
source

请参阅此答案的评论以了解一些背景知识-我对@corsiKa的尊敬非常勇敢地提出了这样一个有争议的问题。

— OldCurmudgeon 2014年

@OldCurmudgeon，我明白了。我不想涉足该评论主题。Oldcurmudgeon，您是否在不理解big-O表示法的情况下争论big-O表示法？确实很尴尬。此外，您和corsiKa正在争论运行时间，而没有定义参数和－导致通讯错误的原因。提示：处理字符串时，一个常见的约定是同意使用表示一个字符串的长度，使用表示另一个字符串的长度-但理想情况下，最好使它明确，因为否则会引起混淆（例如此处说明）。

n

$n$

m

$m$

m

$m$

n

$n$

— DW

@DW OldCurmudgeon可能在学校只是学到了一个不同的定义...正如我在下面的评论中指出的那样，可以避免使用多个变量，尽管到目前为止我从未真正考虑过这样做。也许这（或类似的东西）曾经是标准的？

— Patrick87

我认为这里和这里都有足够的答案。

— 拉斐尔

当然是。很好，完全可以接受。看到算法的运行时间取决于两个参数是常见且标准的。

例如，您经常会看到以表示深度优先搜索的运行时间，其中是图形中的顶点数，是图形中的边数。这是完全有效的。这样做的意义是存在一个常数和数字，使得算法的运行时间为至多，对于所有 $O(n+m)$ $n$ $m$ $c$ $n_0,m_0$ $c \cdot (n+m)$ $n>n_0,m>m_0$ 。换句话说，如果确切的运行时间为，那么我们说如果存在使得并且意味着 $f(n,m)$ $f(n,m) = O(n+m)$ $c,n_0,m_0$ $n>n_0$ $m>m_0$ $f(n,m) \le c \cdot (n+m)$ 。

是的，可以说第一阶段花费时间，第二阶段花费时间是完全适当和可以接受的。 $O(n)$ $O(m)$

重要：请确保定义和。如果不指定是什么，就不能说“这是时间算法” 。如果问题语句中未指定则需要指定它。例如，请参见图算法，其中我们通常定义＃个顶点和＃个边。 $n$ $m$ $O(n)$ $n$ $n$ $n =$ $m =$

至于是否可以称它们为时间，当然不能-除非您以某种方式知道。当然，如果您知道，则随之得出，因此时间算法也是时间算法。但是如果不能保证 $O(n)$ $m = O(n)$ $m = O(n)$ $m+n = O(n)$ $O(m+n)$ $O(n)$ ，则不能将其称为时间算法。 $m = O(n)$ $O(n)$

这是基本的东西。您会在算法教科书中找到所有内容。

— DW
source

@OldCurmudgeon，很有可能您会在许多标准算法教科书中找到此示例。你看了什么？您是否尝试过查看深度优先搜索这一章（我在回答中提到的示例）？

— DW

@OldCurmudgeon在我的CLRS练习3.1-8中，正是针对许多变量的函数给出了

标记的定义。和其上界DFS的运行时间是

为一个曲线图

。

O

$O$

O (V + E)

$O(V+E)$

(V, E)

$(V,E)$

— Kirill 2014年

@Kirill我的观点是可以想象的，在过去的某个时候，习惯上只考虑总长度是可以的，否则可能会被认为是错误。如果您要对学生的考试进行评分，并且该学生使用总输入长度

作为DFS时间复杂度的变量，那么不考虑二维（V和E）是否会出错？真实的东西和人们愿意承认的东西并不总是一成不变的。

n

$n$

— Patrick87

我同意，只要每个人都以这种方式使用 Landau表示法，但是几乎没有人知道它的实际含义（除非您在功能上进行连接）。另请参阅A. Schulz的答案中链接的文章，该文章首先指出“基本”和“常见”使用是错误的。

— 拉斐尔

@ Patrick87 复杂性理论通过许多著名类的定义，主要使用输入长度（有明显的例外）。算法分析（认真完成）对了解有关实际资源使用情况（在模型允许的范围内）感兴趣，因此其他参数对于绘制整个图片（更准确）变得更加有趣。

— 拉斐尔