从单纯形均匀采样

我正在寻找一种算法来生成N个随机数的数组，这样N个数字的总和为1，所有数字都位于0和1之内。例如，N = 3，即随机点（x，y， z）应位于三角形内：

x + y + z = 1
0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1

理想情况下，我希望该区域内的每个点都具有相等的概率。如果太难了，我可以放弃要求。谢谢。

首先让我们假设您想在

x + y + z = 1
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1

这并没有太大的区别，因为采样点仍然很有可能位于您请求的区域中。

现在剩下的是从单纯形采样点了。在3d示例中，您将获得在3d中实现的2d单形（三角形）。

在此博客文章中讨论了如何随机地均匀选择一个点（请参阅评论）。

对于您的问题，这意味着您从间隔获取随机数，然后添加和以获得数字的列表。您对列表进行排序，然后记录两个连续元素之间的差异。这将为您提供数字的列表，这些数字总计为。此外，该采样是均匀的。这个想法可以在The Bayesian bootstrap Ann Donald B. Rubin中找到。统计员。1981年9月，第130-134页。$n-1$$(0,1)$$0$$1$$n+1$$n$$1$

例如（），您拥有三个随机数，然后获得排序的序列，并给出了差值，通过构造这四个数字的总和为1。$n=4$0.4 0.2 0.10 0.1 0.2 0.4 10.1 0.1 0.2 0.6

另一方法如下：首先从超多维数据集中采样（即您忘了x+y+z=1），然后对采样点进行归一化。归一化是从超立方体到单纯形的投影。直观上应该清楚，单纯形中心的点比外部的点具有更多的“前像点” 。因此，如果您从超多维数据集中进行统一采样，则不会在单纯形中进行统一采样。但是，如果您使用适当的指数分布从超立方体中采样，则此效果将被抵消。该图为您提供了两种方法如何采样的想法。但是，由于其简单的形式，我更喜欢“排序”方法。它也更容易实现。$d$$d-1$

这是要添加到现有答案中。

Devroye是此类问题的绝佳参考。第7章介绍了生成统一订单统计信息所需的算法，OP对此进行了介绍。

为了生成统一的订单统计信息，可以对个样本进行排序。此方法需要时间。一种更快的方法（本书中提供）涉及从 pdf中采样 随机数。（这些是统一pdf 的间距）。然后，返回的值 它们是自动总体上以时间排序。（我在这里与A.Schulz的答案重叠-只是使计算更加明确）。$n$$[0,1]$$O(n \log n)$$n$$x_1,\ldots,x_n$$\mathrm{Exp}(1)$

通过逆CDF采样，可以采用相同的方法对任何非均匀pdf进行采样。还有一个技巧，使您可以对除规范单纯形之外的单纯形进行统一采样（例如）。2 X + 3 Ŷ + ž = $[0,1]$$2x+3y+z = 5$

X[0] = 0
for i = 1 to N-1
    X[i] = uniform(0,1)
X[n] = 1
sort X[0..N]
for i = 1 to N
    Z[i] = X[i] - X[i-1]
return Z[1..N]

在此，uniform(0,1)返回一个独立且均匀分布在0和1之间的实数。

参见本文：N. Smith和R. Tromble，从单元单纯形统一采样。