给定一组集合，从每个集合中找出包含至少一个元素的最小集合

给定一组套，我想找到一套，使得每一套在包含至少一个元素。我还希望在满足此标准的同时包含尽可能少的元素，尽管可能存在不止一个具有此属性的最小（解决方案不一定是唯一的）。$\mathbf{S}$S S M M $M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

作为一个具体的例子，假设一套是一组的国旗，并为每个标志在，元素是在该国的国旗使用的颜色。美国将具有而摩洛哥将具有。那么将是一组颜色，其属性是每个国旗至少使用一种颜色。（奥林匹克颜色蓝色，黑色，红色，绿色，黄色和白色是这种的示例，至少在1920年是这样。） S S S = { r e $\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$S = { r e d ，g r e e n } M M $S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$$M$$M$

这个问题有通用名称吗？是否有公认的“最佳”算法来查找集合？（我对解决方案本身更感兴趣，而不是对计算复杂度进行优化。）$M$

问题是众所周知的NP完全问题Hitting Set。它与Set-Cover密切相关。NP完整性证明可以在Garey和Johnson的经典著作中找到。

如果要对其进行近似，则可能需要先将实例转换为Set-Cover，然后对Set-Cover应用近似算法。但是，除非Lund和Yannakakis表示P = NP，否则不能用多项式时间内的常数因子来近似设置覆盖。

如果您对精确的解决方案感兴趣，并且您的输入效果很好，我建议您使用固定参数tractable。在此，运行时间不仅用输入长度$n$表示，而且用附加参数$k$。如果运行时间$O(f(k)\cdot n^{O(1)})$，我们所说的算法FPT-算法。在此，$f(k)$是增加的函数。因此，如果$k$为常数，我们有一个多重时间算法。在第一章的Flum和Grohe所著的《 FPT》一书解释了命中集（更精确地说是$p$卡击中集）的FPT算法。该算法易于实现，并使用有界搜索树的方法。仍然需要大量空间来解释，基本上，您可以将必要的（？）暴力搜索分解成小块（当$k$小时）。

一个可能有用的想法：如果中所有集合的交集都不为空，则可以选择交集中的任何元素s并设置M = { s }。如果交集为空，则找到在集合中出现次数最多的元素（颜色）c，并用单例{ c }替换所有出现在集合中的元素。继续执行此操作，直到每个元素的出现计数等于1，然后将M设置为其余集合的并集。例如，如果S是某个集合A的幂集，则M = $\mathbf S$$s$$M = \{s\}$$c$$\{c\}$$1$$M$$\mathbf S$$A$$M = A$。我可能是错的。

看一看雷·雷特（Ray Reiter）的“从第一原理开始的诊断理论”，其中他给出了一种计算命中集的算法，以及这个附加的注解“ A更正...”。

该算法通常称为“命中集树”算法，它不难找到实现。您提到您对运行时不太感兴趣，但是优化（如提前终止分支等）对实现非常关键，也很有趣：）

实际上，解决Set Cover / Hitting Set实例的一种更好的方法（肯定是最简单的方法之一）是混合整数编程。这涉及将整数编程公式传达给您选择的求解器。