减量的类型和相关的硬度定义

设A是还原为B，即。因此，接受的Turing机器可以访问的oracle 。让图灵机接受是和为oracle是。减少的类型：甲乙甲中号甲乙ö $A \leq B$$A$$B$$A$$M_{A}$$B$$O_{B}$

• 图灵缩减：可以对进行多次查询。 ö $M_{A}$$O_{B}$

• 卡普减少：也称为“多项式时间图灵减少”：的输入必须以多时构造。此外，对的查询数量必须由多项式来限制。在这种情况下：。 O B P A = P $O_{B}$$O_{B}$$P^{A} = P^{B}$

• 图灵多减：在最后一步只能对进行一次查询。因此，oracle响应无法修改。但是，构造的输入所花费的时间不必由多项式来限制。等效地：（表示多减一） ö 乙 ö 乙 ≤ $M_{A}$$O_{B}$$O_{B}$$\leq_{m}$

  $A \leq_{m} B$如果一个可计算函数，使得。˚F ：Σ * →交通Σ * ˚F （X ）∈ $\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• Cook归约法：也称为“多项式时间多一归约法”：多项式归约法，其中构造的输入所花费的时间必须由多项式来限制。等效地：（表示多一归约） ≤ p $O_{B}$$\leq^{p}_{m}$

  如果 ∃一个聚时间可计算函数 ˚F ：Σ * →交通Σ *使得 ˚F （X ）∈ $A \leq^p_{m} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$。$f(x) \in B \iff x\in A$

• 简约还原：也称为“多项式时间一对一还原”：库克还原，其中每个实例映射到B的唯一实例。等价地：（≤ p 1表示简约还原）$A$$B$$\leq^{p}_{1}$

  如果 ∃一个聚时间可计算双射 ˚F ：Σ * →交通Σ *使得 ˚F （X ）∈ $A \leq^p_{1} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$。$f(x) \in B \iff x\in A$

  这些减少保留了解决方案的数量。因此。$\#M_{A} = \#O_{B}$

我们可以通过限制oracle查询的数量来定义更多的归约类型，但是将其排除在外，有人可以告诉我是否正确地知道了所使用的不同归约类型的名称。是否就Cook减少或简约减少定义了NP完全问题？任何人都可以举一个例子说明一个问题，该问题在库克领导下是NP完全的，而不是在简化还原下。

如果我没看错，那么＃P-Complete类是针对减少Karp定义的。

您对简约还原的定义不正确。您将其与多项式一次一约简相混淆，这是Karp约简的特例。他们不保留“解决方案”的数量。请参阅此答案以获取有关考虑证书数量减少的更多信息。

其余的似乎很好，尽管通常最好在二维图中查看它们：

• 约简的复杂度：可计算，多项式时间，对数空间等。
• 访问类型：图灵，多对一，一对一等。

是否就Cook减少或简约减少定义了NP完全问题？

硬度和完整性是通过减少Karp（多次乘一）来定义的，而不是Cook或简约的减少。$\mathsf{NP}$

任何人都可以举一个例子说明一个问题，该问题在库克领导下是NP完全的，而不是在简化还原下。

以SAT的补充为例，它在Cook还原下对是完整的，在Karp还原下对N P是不完整的。卡普减少包括多时一对一减少。$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

＃P-Complete类是针对减少Karp定义的

注意，$\mathsf{\#P}$不是一类决策问题，而是一类函数计算问题。它的硬度和完整性通常通过库克减少法来确定（多时Turing）。参见例如Arora和Barak，第346页。

减少卡普的定义不正确。Karp约简是多项式时间Turing约简，在最后一步的约简中，oracle $O_B$恰好被调用一次。