为什么测试集的共识数为2？

根据维基百科，

测试和设置操作可以解决不超过两个并发进程的免等待共识问题。

为什么不能用两个以上的流程解决问题？

为了确保我们在同一页面上，首先让我们考虑以下三个定义：

定义。测试设置是一些二进制寄存器（让我们说0和1是可能的值）上的读-修改-写指令，其中线程获得旧值并写入1。

定义。如果所有线程都决定同一个值（一致性要求），并且所有线程都决定由其中一个线程实际提出的值（有效性要求），则在线程之间达成共识。$n$$n$

定义。如果每个方法调用均以有限的步骤完成，则共识协议无需等待。

现在遵循两个证明草图。

声明1.测试集的共识数量至少为2. 证明。假设我们有两个线程0和1需要达成共识。我们可以通过让每个线程遵循以下共识协议来做到这一点：

1. 将您建议的值写入，其中是线程ID，是大小为2的数组。$A[t]$$t$$A$
2. 在某些寄存器上执行测试设置指令，其中初始化为0。$R$$R$
3. 如果返回值为0，则您首先是：return。否则，您排名第二：返回。$A[t]$$A[|t-1|]$

您可以验证自己是否满足共识和等待时间。$\square$

（对于下一个证明，我将嵌套一些证明和定义，因为我认为这将使其更容易理解。）

声明2.测试集的共识数最多为2. 证明。通过矛盾。假设我们有三个线程，和希望分别决定值，和，并且我们有一些有效的免等待共识协议，该协议使用测试和设置（以及原子读写）实现）。$A$$B$$C$$a$$b$$c$

我们可以将共识过程可视化为有向树，其中：

• 根是所有线程都未“采取行动”的状态。
• 节点的左子节点表示移后的状态，中间子节点表示移后的状态，右子子表示移后的状态；$A$$B$$C$
• 叶节点表示所有线程均已完成的状态。与叶节点关联的是值，或，其中值取决于为该特定执行决定的值。$a$$b$$c$

定义。如果尚未确定共识过程的结果，则使状态为多价。换句话说，并非所有可能的其余移动交错都导致相同的结果。让我们的状态是单价时的共识进程的结果是确定的。

根是多价的。 证明。如果只有一个线程处于活动状态，而其他线程永远处于休眠状态，则将以有限数量的步长完成（由等待自由假设保证），并且它将决定（因为它只能访问该值及其值决定将满足共识有效性要求）。因此，对于我们的情况，，和都是可能的结果。$X$$X$$x$$a$$b$$c$$\square$

定义。假设临界状态是多价状态，其附加属性是的移动将确定，的移动将确定。$A$$a$$B$$b$

存在临界状态。 证明。从上面我们知道我们以多价状态开始。让完全不动。只要或都不强迫树进入单价状态，就让它移动。等待自由保证了树是有限的，因此在某些时候必须遇到临界状态。$C$$A$$B$$\square$

现在考虑一个处于紧急状态的场景。有至少两种可能性：

1）进行移动（从而确定）并停止。然后移动并停止。下一个运行直到完成为止，最终确定。$A$$a$$B$$C$$a$

2）进行移动（从而确定）并停止。下一个运行直到完成，最终决定。不动。$B$$b$$C$$b$$A$

由于原子读取和写入的共识号为1，因此和的移动必须是同一寄存器上的测试设置指令（如果寄存器不同，那么将无法分辨和的顺序。的举动发生了。从的角度来看，情况1和2是无法区分的，因此我们必须让决定和。这是不可能的。$A$$B$$C$$A$$B$$C$$C$$a$$b$$\square$

权利要求1和2都遵循测试和设置指令具有2的共识编号。

维基百科的文章确实提供了可以回答您问题的参考，但是您可能不想阅读那篇26页的论文。我将给出（相当技术性）证明的简化版本，以表明测试和设置无法解决3个过程的二进制共识。这种论点被广泛用于证明共识数。

假设我们有一个使用TAS寄存器处理3个进程的共识算法。

在任何时间点，每个进程都会有一个准备执行的移动（指令）。这三个指令中的哪一个将被执行是不确定的。

假设我们处于二价状态（仍然可以同时使用0或1决策的状态），并且无论接下来移动哪个进程，随后的状态都是单价的。由于没有等待，最终必须达到这种状态。

假设（wlg）如果进程1移动，状态将为0价，如果进程2移动，状态将为1价。两次移动都必须是同一寄存器上的TAS操作（或至少是某种写操作），因为如果它们是不同寄存器上的TAS操作，则我们无法确定进程1首先移动还是进程2首先移动。

让我们考虑以下两种可能的执行方式：

• 进程1首先移动，然后进程2移动，然后进程3单独运行
• 进程2首先移动，然后进程3单独运行

从过程3的角度来看，这些状态是无法区分的，因为它只是看到过程2写入的值。但是，在第一种情况下，应将0作为输出，在第二种情况下，应将1作为输出。显然，这是一个矛盾。

进程1和2可以在它们之间决定哪个先移动（因为它们可以在写入之前看到寄存器中的值），而第三个观众进程则不能。

证明测试设置不能用于解决3个处理器共识的另一种方法是，证明测试设置可以使用2个处理器共识来实现。然后，假设测试集可以解决3个处理器的共识，那就产生了一个矛盾：假设测试集可以解决3个处理器的共识。然后通过使用2处理器共识替换其实现的测试集，就可以使用2处理器共识获得3处理器共识的实现，这是不可能的。因此，测试设置无法解决3个处理器的共识。

要使用2个处理器共识为n个处理器实现测试和设定，让处理器使用锦标赛确定竞赛的赢家，其中使用2个处理器共识实现每次比赛（在比赛中，处理器提出他们的标识符，共识结果告诉他们谁赢了。

在实践中，一个不太严格的共识定义可能就足够了（在这里我称之为轻共识）：

定义。如果（a）每个线程决定相同的值或该值的未知，则在n个线程之间达到“光共识”；（b）至少一个线程知道该值，并且（c）该值实际上是由以下一个提议的线程。

因此，从较轻的意义上说，这种共识允许某个线程不知道该共识，即所确定的价值。

推论：在这种较轻的意义上，测试和设置具有无限的光共识数。

主张：这种较轻的感觉是可行的。例如，为了选择进入关键部分的线程，就不必严格意义上达成共识。也就是说：每个线程都必须知道是否已选择它，但是，如果未选择它，则不必知道已选择了哪个线程。换句话说，对于相互排斥来说，不需要严格的共识，光就足够了。