三重嵌套循环的时间复杂度

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请考虑以下三重嵌套循环：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

此处的语句正好执行 $n(n+1)(n+2)\over6$ 次有人可以解释一下该公式是如何获得的吗？谢谢。

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— 鑫
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嵌套循环的时间复杂度公式问题也可能引起关注。

— Juho 2012年

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您可以通过计算最里面的for循环执行的三元组的数目来计算 $(i,j,k)$ 执行次数。

$1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

$n+2$ $n+2 \choose 3$

— 里兹万胡达
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好答案！i，j，k的确切值并不重要。我们只需要知道任何蓝色框都可以放置在n个可能的位置中，并且它们的位置是有界的：第二个始终位于第一个之后和第三个之后。

— 大卫Natingga

@rizwanhudda清除，但的部分除外。你能解释一下吗？看起来像正确的数字。

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame 2012年

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@saadtaame是的。您可以想象有红色框，但是可以自由地从“红色框”中选择3个红色框来绘制蓝色，因为您不能将第一个框上色为蓝色（因为）

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

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对我来说，它更容易内循环执行的通知倍和处决的总数中内环为 $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

可以将其重写为并执行次，因此执行的总数为 $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— 安迪·麦克沃伊
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对您的挑战：假设您有一个x嵌套循环。根据先前的答案，它将执行（n + x-1）次选择x次。您将如何计算公式？

— 大卫Natingga

幸运的是，OP并没有要求进行X嵌套！给定的其他答案如何扩展为x嵌套循环？我的答案应该只是获得更多的和，从0到n，从0到n-i_1，从0到n-i_2，...，从0到n-i_x。但是我不知道该怎么计算。

— 2012年

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对于一般的x，答案并没有明确扩展，但是提供的推理过程很容易遵循x嵌套循环。您只需添加更多蓝色框。我也不知道如何计算更多的和。

— 大卫Natingga