为什么我们相信PSPACE≠EXPTIME？

我在直觉上很难理解为什么通常认为PSPACE与EXPTIME不同。如果PSPACE是在输入大小为空间多项式中可解决的问题集 $f(n)$ ，那么怎么会有一类经历较大指数时间膨胀且不利用指数空间的问题呢？

Yuval Filmus的回答已经非常有用。但是，任何人都可以画出我的一个松散的说法，为什么它可能的情况是PSPACE≠EXPTIME（即PSPACE不是EXPTIME的真子集）？我们是否需要指数空间来突破系统配置总数的上限，而系统配置的总数可以随输入大小成倍地扩展？只能说，我可以理解为什么EXPTIME≠EXPSPACE是一个待解决的问题，但是我对PSPACE和EXPTIME之间的关系缺乏了解。

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让我们刷新定义。

PSPACE是可以在具有多项式空间边界的确定性图灵机上解决的一类问题：也就是说，对于每个此类问题，都有一台机器可以在输入长度为磁带单元时使用最多磁带单元来确定问题。，对于多项式。 $p(n)$ $n$ $p$
EXP是可以在具有确定性时限的确定性图灵机上解决的一类问题：对于每个此类问题，当输入长度为，对于每一个此类问题，都有一台机器使用最多步来确定问题。一些多项式。 $2^{p(n)}$ $n$ $p$

首先，我们应该说这两个类可能相等。它们似乎更可能不同，但是有时类却是相同的：例如，在2004年，Reingold证明了对称日志空间与普通日志空间相同；1987年，Immerman和Szelepcsényi独立证明了NL $\;=\;$ co-NL（实际上是NSPACE [ ] $f(n)$ $\;=\;$ 共NSPACE [ ] $f(n)$ 为任何）。 $f(n)\geq \log n$

但是，目前，大多数人认为PSPACE和EXP是不同的。为什么？让我们看一下在两个复杂度类中可以做什么。考虑一下PSPACE中的问题。我们允许使用磁带单元来解决长度为的输入，但是很难将其与EXP（由时间限制指定）进行比较。 $p(n)$ $n$

PSPACE问题可以使用多少时间？如果我们仅写入磁带单元，则假定使用二进制字母，则磁带上可能会出现不同的字符串。磁带头可以位于不同的位置中的任何一个，而图灵机可以处于不同状态中的一种。因此，配置总数为 $p(n)$ $2^{p(n)}$ $p(n)$ $k$ $T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$ 。根据信鸽原理，如果我们运行步，我们必须两次访问一个配置，但是由于机器是确定性的，这意味着它将循环并无限次地访问相同的配置，即，它将不会。停下来。由于存在于PSPACE中的部分定义是您必须确定问题，因此任何不终止的计算机都无法解决PSPACE问题。换句话说，PSPACE是最多可使用空间和最多可决定的问题类别 $T(n)+1$ $p(n)$ 时间，对于某个多项式最多为。所以我们证明了PSPACE $k\,p(n)\,2^{p(n)}$ $2^{q(n)}$ $q$ $\;\subseteq\;$ EXP。

我们可以为EXP问题使用多少空间？好吧，我们允许步，图灵机的机头在每一步只能移动一个位置。由于磁头不能移动超过位置，因此我们只能使用那么多的磁带单元。 $2^{p(n)}$ $2^{p(n)}$

这就是区别：尽管PSPACE和EXP都是可以在指数时间内解决的问题，但是PSPACE限于多项式空间使用，而EXP可以使用指数空间。那已经表明EXP应该更强大。例如，假设您正在尝试解决有关图形的问题。在PSPACE中，您可以查看顶点的每个子集（只需要位即可写下一个子集）。您可以使用一些工作空间来计算每个子集，但是一旦完成一个子集的工作，就必须擦除该工作空间并将其重新用于下一个子集。在EXP $n$ 另一方面，您不仅可以查看每个子集，而且不需要重复使用工作空间，因此您可以记住对每个子集的了解。看来它应该更强大。

为什么它们应该有所不同的另一种直觉是，时间和空间层次定理告诉我们，甚至允许多一点的空间或时间都严格地增加了您可以计算的内容。层次定理仅允许您将like与like比较（例如，它们表明PSPACE $\;\subsetneq\;$ 空格和P $\;\subsetneq\;$ EXP），因此它们不能直接应用于PSPACE vs EXP，但它们确实使我们有一个直观的认识，即更多的资源意味着可以解决更多的问题。

— 大卫·里奇比
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如果EXPTIME允许指数空间，我想正确的问题是，可以说EXPTIME是EXPSPACE的适当子集，因为EXPSPACE允许在超指数时间内解决问题是正确的吗？

— user25876

如果是这样，那么我认为一切对我来说都是有意义的。出于某种原因，我以为EXPTIME禁止使用指数空间，但事实并非如此。这就是我困惑的地方。

— user25876

我喜欢您的子集示例。IIRC正确，我们知道无法在线计算（以及完整信息）的问题，因此您必须将所有元素保留在内存中。直观地说。

— 拉斐尔

@ user25876是的，这表示一个PSPACE机可以使用指数时间相同的参数表示，一个EXPSPACE机可以使用双指数时间（即，

）。

2^{2^{p o l y} (n)}

$2^{2^\mathrm{poly}(n)}$

— David Richerby 2014年

@DavidRicherby我接受您的回答。您是否知道有任何参考文献BTW讨论了证明或证明PSPACE作为EXPTIME的适当子集的技术障碍？我现在真的对此很好奇。

— user25876

$\neq$ $\neq$

— Yuval Filmus
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