Landau的总和出了什么问题？

我写

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

但是我的朋友说这是错误的。从TCS备忘单中，我知道总和也称为，其对数增长。所以我的界限不是很敏锐，但足以满足我需要的分析需求。 $H_n$ $n$

我做错了什么？

编辑：我的朋友说，以同样的理由，我们可以证明

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

现在，这显然是错误的！这里发生了什么？

asymptotics landau-notation

— 拉斐尔
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在此处查看有关此问题标签的讨论。

— 拉斐尔

关于标签算法的元讨论。

— 卡夫

另请参见一个常见示例的更具体处理：此嵌套循环的渐近运行时是什么？

— 吉尔（Gilles）'“ SO-别再邪恶了”

Answers:

您正在做的是一种非常方便的符号滥用。

一些书呆子会说您写的是胡说八道，因为表示集合，并且您无法按照自己的方式对其进行算术运算。 $\mathcal{O}(f)$

但是，最好不要理会那些学徒，并假设代表集合中的某个成员。所以，当我们说，我们真正的意思如果。（请注意：有些学究者可能也会对此陈述感到震惊，声称是一个数字，而 $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ 是功能！）

这使得编写如下表达式非常方便

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

这意味着，有一些，使得 $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

就你而言

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

您会进一步滥用它，因此需要小心。

这里有两种可能的解释：是指的函数还是的函数？ $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

我相信正确的解释是将其解释为的函数。 $k$

如果尝试将其视为的函数，认为不是不正确，则可能会导致潜在的谬误，例如认为为并尝试写 $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

如果您尝试将其视为的函数，则可以肯定的是，如果（随着参数转到）并且永远不会为，则 $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

需要注意的是在中间，我们使用符号的方便滥用来表示为一些功能的总和为。注意，内部的最终函数是指的函数。证明并不是那么困难，但是您必须迎合一个事实，即您正在处理一个渐近上限（即，对于足够大的参数），但是总和从开始。 $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

如果您尝试将其视为的函数，那么也确实是如果（因为参数转到），则 $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

因此，无论哪种解释，您的证明都是正确的。

— Aryabhata
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底线：请注意（确保）每次出现的Landau符号都会引入（具有）自己的常量。

— 拉斐尔

你写的是完全正确的。实际上，第次谐波数在集合。 $n$ $O(n)$

证明： 。 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

的上限并不严格，但这是正确的。 $O(n)$

— 杰夫
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好的：1 / i≤1 = O（1）。

— JeffE 2012年

关注的是第二个平等标志。我该如何验证？

— 拉斐尔

但这也是正确的。n个项的总和确实是O（n），每个项均为O（1）。

— Suresh 2012年

@Suresh仅当

s所隐含的常量独立于求和变量时，这才是此处的要点（种子问题）。

O

$\cal{O}$

— 拉斐尔

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

i = O (1)

$i = O(1)$

$i$ $n$ $i>n/2$ $i = O(n)$ $i$ $1\cdot n$

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

However the right thing to do is actually use the big-O notation only at the end. Upper bound your summation as tight as you can, and only when your done use the asymptotic notations to avoid these pitfalls.

— Ran G.
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