为什么NP完全问题在近似上如此不同？

首先，我想说我是一名程序员，而我在复杂性理论方面没有很多背景。

我注意到的一件事是，尽管许多问题都是NP完全的，但是当扩展到优化问题时，有些问题比其他问题难得多。

一个很好的例子是TSP。尽管所有类型的TSP都是NP完全的，但通过连续的简化，相应的优化问题变得越来越容易。一般情况是NPO完全，度量情况是APX完全，而欧几里得情况实际上具有PTAS。

这对我来说似乎违反直觉，我想知道是否有这个原因。

我们看到NP-完全问题的近似复杂度不同的一个原因是NP-完全问题的必要条件构成了问题复杂度的非常粗糙的度量。您可能熟悉问题是NP完全的基本定义：$\Pi$

1. 在NP中，并且$\Pi$
2. 对于所有其他问题中NP，我们可以把一个实例X的Ξ为实例Ÿ的Π在多项式时间，使得Ÿ是的是的实例Π当且仅当X是的是的实例Ξ。$\Xi$$x$$\Xi$$y$$\Pi$$y$$\Pi$$x$$\Xi$

考虑条件2：所需要的就是我们可以将转换为y，以保留“单比特”是/否答案。例如，见证人相对于是或否的相对大小（即，优化上下文中解决方案的大小）没有条件。因此，唯一使用的度量是输入的总大小，它仅对解决方案的大小给出非常弱的条件。因此，将Ξ变成Π是相当“容易”的。$x$$y$$\Xi$$\Pi$

通过查看一些简单算法的复杂性，我们可以看到各种NP完全问题的区别。着色具有蛮力O （k n）（其中n是输入大小）。对于k支配集，蛮力法取O （n k）。从本质上讲，这些是我们拥有的最佳精确算法。k-顶点覆盖层但是具有非常简单的O （2 k n c$k$$O(k^{n})$$n$$k$$O(n^{k})$$k$$O(2^{k}n^{c})$算法（选择一条边，在其中包括的端点上进行分支，标记所有被覆盖的部分，继续进行下去，直到没有未标记的边或达到和bactrack的预算）。在多项式时间多一归约（Karp归约，即我们在上面条件2中所做的事情）下，这些问题是等效的。$k$

当我们开始使用甚至更精细的工具（复杂度，参数化复杂度，我无法想到的其他任何复杂度）来处理复杂性时，我们使用的缩减变得更加严格，或更确切地说，对解决方案的结构更加敏感，并且差异开始出现；顶点覆盖（如Yuval所述）具有简单的2逼近度（但除非有一些复杂性类别崩溃，否则不具有FPTAS），k-支配集具有（1 + log n ） -逼近算法（但无（c log n ） -对于某些c > 0的近似$k$$k$$(1+\log n)$$(c\log n)$$c>0$），而对于 -Coloring 的直接版本，近似值根本没有任何意义。$k$

$O(\log n)$$1/2 + k/n$$k$$O(1)$ 近似算法。

这些示例尚未完全组成。MAX-INDEPENDENT-SET（等效于MAX-CLIQUE）和MIN-VERTEX-COVER的问题密切相关–独立集合的补集是顶点覆盖。但是，尽管前者很难近似，但后者具有简单的2近似。

表示给定问题的NP硬度的折减有时可以用来表示近似硬度，但这并非总是如此-它取决于折减。例如，从MAX-INDEPENDENT-SET减少到MIN-VERTEX-COVER并不意味着近似于后一个问题的硬度，这比前一个问题容易得多。

总而言之，NP硬度只是问题的一方面。近似硬度是一个不同的方面，它在很大程度上取决于近似的概念。

作为一种直观的方法，考虑到NP完全问题的实例化并不总是像一般情况那样困难。二进制可满足性（SAT）是NP完全的，但是找到A v B v C v D v的解决方案并不容易...复杂度算法仅约束最坏情况，而不是平均情况，甚至90％情况。

将NP完全问题简化为最简单的方法是简单地排除困难部分。是作弊，是的。但是通常其余部分对于解决现实世界中的问题仍然有用。在某些情况下，“容易”和“难”之间的界线很容易画出。正如您为TSP指出的那样，因为将问题约束在人们可能想到的“正常”方向上，所以难度大大降低。 ，很难找到现实生活中有用的方法来分离易零件和难零件。

为了完全脱离CS和数学的领域，请考虑使用一辆旧车。您的朋友想开车。如果您必须告诉他，“嘿，这辆汽车运转完美。只是不要让它超过95英里/小时。有一个令人讨厌的摆动会把您撞倒在路上，”这可能没什么大不了的。无论如何，您的朋友可能只想把它带到城里去。但是，如果您必须告诉他，“您必须正确地踩下离合器，使其从第1挡转到第2挡，否则发动机将失速”，对于您的朋友而言，如果没有经过少量的培训，就很难在城镇周围使用汽车。

同样，如果一个NP完全问题仅在特殊情况下才变得困难，那么当您查看子域时，它会相当快速地降低复杂性。但是，如果在常见情况下变得困难，则没有太多有用的子域可以避免困难的部分。