为什么用P进行线性编程而用NP进行整数编程很难？

线性编程（LP）在P中，而整数编程（IP）在NP中。但是由于计算机只能以有限的精度操作数字，因此实际上计算机正在使用整数进行线性编程。因此，LP和IP难道不属于同一复杂度等级吗？

我不能发表评论，因为它需要50个代表，但是散布着一些误解，尤其是拉斐尔（Raphael）的评论：“一般来说，连续的领域意味着没有蛮力（也没有聪明的试探法来加速它）。”

这是绝对错误的。关键确实是凸性。在多项式时间收敛的意义上，除非有一些技术约束条件，否则在凸集上最小化凸函数（或最大化凹函数）基本上是微不足道的。

粗略地说，您可以说“数学”优化中的问题凸性与“计算机科学”优化中的贪婪算法的可行性之间存在对应关系。从某种意义上说，它们都启用了本地搜索方法。您将不必在贪婪的算法中回溯，也不必在凸优化问题中后悔下降的方向。目标函数的局部改进将始终使您更接近全局最优。

在非凸情况下并非如此。在这里，可能存在一个全局最小值，但是总是会引用本地下降算法的几个局部最小值，这与贪婪算法应用于NP问题时的方式相同。有时他们找到真正的最佳选择，但大多数时候却找不到。

简短的答案：因为您可以使用Integers来模拟SAT的布尔值，但是当您不局限于此时，您实际上就无法模拟SAT。您将得到一个可行的答案，但是对于您尝试模拟的任何SAT实例，它都不再具有任何意义。

$P \neq NP$

线性规划之所以“高效”，是因为解空间可以由单个凸多面体表示。如果试图在该多面体上找到“最高”顶点（一个人可以对任何线性规划问题进行线性变换，以使“高度”对应于要最大化的数量），则可以从任何顶点沿边传播到最高点，而不必走下坡路。使整数编程变得“困难”的原因在于，没有连续的求解空间，而是存在许多不相交的求解空间，并且无法朝着最优求解逐步进行工作。

其他答案是正确的，但我发现它们有点技术性。假设您已扫除（消除了）矩阵并正在寻找任何解决方案，则矩阵如下所示：

column x1 x2 x3 x4 x5 x6 | solution
-----------------------------------
       1           1  1  | 3
          1              | 1
             1     1     | 2
                2  1  1  | 1  

$Q$