Karp-Lipton定理的证明


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我试图理解“计算复杂性:一种现代方法”(2009年)一书中所述的Karp-Lipton定理的证明。

尤其是,这本书指出以下内容:

卡普-利普顿定理

如果NP P p ø ÿ,然后PH = Σ p 2 Ppoly =Σ2p

证明: 由定理5.4,以示PH ,它足以说明,Π p 2⊆ Σ p 2和特别地它足以说明,Σ p 2包含Π p 2 -complete语言Π 2周六=Σ2pΠ2pΣ2pΣ2pΠ2pΠ2

定理5.4指出

对于每个,如果Σ p = Π p 然后PH = Σ p 。也就是说,层次结构崩溃到第i个级别。i1Σip=ΠipΣip

我无法理解如何意味着ΣΠ2pΣ2pΣ2p=Π2p

作为一个更普遍的问题:这是否保持每一个,IE浏览器Π p ⊆ Σ p 暗示Σ p = Π p 所有1iΠipΣipΣip=Πipi1


过了一会儿,如果我没有记错,我们来到了一个含糊的解释:“如果,那么我们就可以改变一个与量词公式一个与量词,这我们可以用它来从变换式Σ p 3的形式的到窗体的一个Π2pΣ2p......Σ3p............,哪些地方它,其中倒塌的层次。我不知道我完全理解这种说法。Σ2p
WardL

另一个建议/想法是,数学语句在子集包含和相等之间切换(承认这在复杂性理论中很常见)。有没有办法坚持/坚持/重新制定一个或另一个?fyi Karp-Lipton thm / Wikipedia
vzn 2015年

Answers:


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LΣipL¯ΠipΣipΠipLΠipL¯ΣipL¯ΠipLΣip. In other words, ΠipΣip, and so Σip=Πip.

Here's why LΣip iff L¯Πip. For concreteness, we take i=3. By definition, LΣ3p if for some P-time predicate T,

xL|y|<|x|O(1)|z|<|x|O(1)|w|<|x|O(1)T(x,y,z,w).
Similarly L¯Π3p if for some P-time predicate S,
xL¯|y|<|x|O(1)|z|<|x|O(1)|w|<|x|O(1)S(x,y,z,w).
However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take S=¬T).
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