Karp-Lipton定理的证明

我试图理解“计算复杂性：一种现代方法”（2009年）一书中所述的Karp-Lipton定理的证明。

尤其是，这本书指出以下内容：

卡普-利普顿定理

如果NP P ∖ p ø 升ÿ，然后PH = Σ p 2。$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

证明： 由定理5.4，以示PH ，它足以说明，Π p 2＆SubsetEqual; Σ p 2和特别地它足以说明，Σ p 2包含Π p 2 -complete语言Π 2周六$= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

定理5.4指出

对于每个，如果Σ p 我 = Π p 我然后PH = Σ p 我。也就是说，层次结构崩溃到第i个级别。$i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

我无法理解如何意味着$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$。$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

作为一个更普遍的问题：这是否保持每一个，IE浏览器Π p 我＆SubsetEqual; Σ p 我暗示Σ p 我 = Π p 我所有我≥ 1？$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$. In other words, $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$, and so $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$.

Here's why $L \in \Sigma_i^p$ iff $\bar{L} \in \Pi_i^p$. For concreteness, we take $i = 3$. By definition, $L \in \Sigma_3^p$ if for some P-time predicate $T$,

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ Similarly $\bar{L} \in \Pi_3^p$ if for some P-time predicate $S$, $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take $S = \lnot T$).