高效算法，可随机生成一个多集的两个分散，无序排列

背景

$\newcommand\ms[1]{\mathsf #1}\def\msD{\ms D}\def\msS{\ms S}\def\mfS{\mathfrak S}\newcommand\mfm[1]{#1}\def\po{\color{#f63}{\mfm{1}}}\def\pc{\color{#6c0}{\mfm{c}}}\def\pt{\color{#08d}{\mfm{2}}}\def\pth{\color{#6c0}{\mfm{3}}}\def\pf{4}\def\pv{\color{#999}5}\def\gr{\color{#ccc}}\let\ss\gr$假设我有两个相同批次的$n$大理石。每个大理石可以是$c$种颜色之一，其中$c≤n$。令$n_i$表示每批中颜色为i的大理石的数量$i$。

令$\msS$为多集$\small\{\overbrace{\po,…,\po}^{n_1},\;\overbrace{\pt,…,\pt}^{n_2},\;…,\;\overbrace{\vphantom 1\pc,…,\pc}^{n_c}\}$代表一批。在频率表示中，$\msS$也可以写为$(\po^{n_1} \;\pt^{n_2}\; … \;\pc^{n_c})$。

\ msS的不同置换数$\msS$由多项式给出：

题

是否有一个有效的算法来生成两个弥漫，错乱排列$P$和$Q$的$\msS$随意？（分布应均匀。）

• 甲置换$P$是漫如果对于每个不同的元件$i$的$P$，的实例$i$在大致均匀间隔的出$P$。

  例如，假设$\msS=(\po^4\;\pt^4)=\{\po,\po,\po,\po,\pt,\pt,\pt,\pt\}$。

  • $\{\po, \po, \po, \pt, \pt, \pt, \pt, \po\}$不扩散
  • $\{\po, \pt, \po, \pt, \po, \pt, \po, \pt\}$是分散的

  更严格地：

  • 如果，则只有一个实例要在 “间隔” ，所以让。$n_i=1$$i$$P$$\Delta(i)=0$
  • 否则，令是实例之间的距离 和实例 的在。从中减去期望的实例之间的距离，定义以下内容： 如果在均匀分布，则应该为零，或者如果为非常接近零。$d(i,j)$$j$$j+1$$i$$P$$i$ $$\delta(i,j)=d(i,j)-\frac n{n_i}\qquad\qquad\Delta(i)=\sum_{j=1}^{n_i-1} \delta(i,j)^2$$ $i$$P$$\Delta(i)$$n_i\nmid n$

  现在定义统计量来衡量每个在均匀间隔的数量。如果接近零，或大致，我们称弥散。（可以选择特定于的阈值，以便在使扩散。）$s(P)=\sum_{i=1}^c\Delta(i)$$i$$P$$P$$s(P)$$s(P)\ll n^2$$k\ll1$$\msS$$P$$s(P)<kn^2$

  此约束想起了更严格的实时调度问题，称为风车问题，具有多重集（因此）和密度。目的是调度循环无限序列，使得长度为任何子序列都包含至少一个实例。换句话说，可行的时间表要求所有；如果是密集的（），则且。风车问题似乎是NP完全的。$\ms A=n/\msS$$a_i=n/n_i$$\rho=\sum_{i=1}^c n_i/n=1$$P$$a_i$$i$$d(i,j)≤a_i$$\ms A$$\rho= 1$$d(i,j)=a_i$$s(P)=0$

• 两个置换和是走火入魔，如果是紊乱的 ; 也就是说，每个索引。$P$$Q$$P$$Q$$P_i ≠ Q_i$$i\in[n]$

  例如，假设。$\msS=(\po^2\;\pt^2)=\{\po,\po,\pt,\pt\}$

  • $\{\po, \pt, \po, \pt\}$和不错乱$\{\po, \po, \pt, \pt\}$
  • $\{\po, \pt, \po, \pt\}$和排列混乱$\{\pt, \po, \pt, \po\}$

探索性分析

我对和的多集族感兴趣。特别是让。$n=20$$n_i=4$$i\lesssim4$$\msD=(\gr1^4\,\gr2^4\,\gr3^4\,\gr4^3\,\gr5^2\,\gr6^1\,\gr7^1\,\gr8^1)$

• 这两个随机排列的概率和的被错乱是约3％。$P$$Q$$\msD$

  可以如下计算，其中是第个Laguerre多项式： 参见此处的说明。$L_k$$k$

  $$\begin{align*} \left|{\mathfrak D}_{\msD}\right| &=\int_0^\infty \!\!dt\; e^{-t}\, \prod_{i=1}^c L_{n_i}(t) =\int_0^\infty \!\!dt\; e^{-t}\, \bigl(L_4(t)\bigr)^3\bigl(L_3(t)\bigr)\bigl(L_2(t)\bigr)\bigl(L_1(t)\bigr)^3\\ &=4.5\times10^{11}\\ \left|\mfS_{\msD}\right| &=n!\prod_{i=1}^c \frac1{n_i!} =\frac{20!}{(4!)^3\,(3!)\,(2!)\,(1!)^3} =1.5\times10^{13}\\ p&=\left|{\mathfrak D}_{\msD}\right|/ \left|\mfS_{\msD}\right|\approx0.03\end{align*}$$

• 的概率的随机排列的是漫是约0.01％，设置在大致任意的阈值。$P$$\msD$$s(P)<25$

  下面是的100,000个样本的经验概率图，其中是的随机排列。$s(P)$$P$$\msD$

  

  在中等样本大小下，。$s(P)\sim \text{Gamma}(\alpha\approx8,\beta\approx18)$

  $$\begin{array}{ccl}\renewcommand\mfm[1]{\textbf{#1}} \hline P & s(P) & \text{cdf}(s(P)) \\ \hline \{\po, \ss8, \pt, \pth, \pf, \po, \pv, \pt, \pth, \ss6, \po, \pf, \pt, \pth, \ss7, \po, \pv, \pt, \pf, \pth\} & \frac{11}9\approx1\, & <10^{-5} \\ \{\ss8, \pt, \pth, \pf, \po, \ss6, \pv, \pt, \pth, \pf, \po, \ss7, \po, \pt, \pth, \pv, \pf, \po, \pt, \pth\} & \frac{140}9\approx16 & <10^{-4} \\ \{\pth, \ss6, \pv, \po, \pth, \pf, \pt, \po, \pt, \ss7, \ss8, \pv, \pt, \pf, \po, \pth, \pth, \pt, \po, \pf\} & \frac{650}9\approx72 & \phantom{<1}0.05 \\ \{\pth, \po, \pth, \pf, \ss8, \pt, \pt, \po, \po, \pv, \pth, \pth, \pt, \ss6, \pf, \pf, \pt, \po, \ss7, \pv\} & \frac{1223}9\approx136 & \phantom{<1}0.45 \\ \{\pf, \po, \po, \pf, \pv, \pv, \po, \pth, \pth, \ss7, \po, \pt, \pt, \pf, \pth, \pth, \ss8, \pt, \pt, \ss6\} & \frac{1697}9\approx189 & \phantom{<1}0.80 \\ \hline \end{array}$$

两个随机置换有效（扩散和无序）的概率约为 。$v\approx(0.03)(0.0001)^2\approx10^{-10}$

低效的算法

常见的“快速”算法会生成一个随机的集合失序，它是基于拒绝的：

做
     P ←random_permutation（D）
直到is_derangement（D，P）
返回P

由于大约有可能的排列，因此大约需要次迭代。然而，基于拒绝的随机算法对于该问题将不是有效的，因为它将采用迭代的数量级。$e$$n!/e$$1/v\approx10^{10}$

在Sage使用的算法中，多集的随机排列“是通过从所有可能排列的列表中随机选择一个元素形成的。” 但这仍然是无效的，因为有有效的排列来枚举，此外，无论如何，都需要一种算法来做到这一点。$v\,|\mfS_{\msD}|^2\approx10^{16}$

进一步的问题

这个问题的复杂性是什么？可以将其简化为任何熟悉的范例，例如网络流，图形着色或线性编程吗？

一种方法：可以将其减少到以下问题：给定布尔公式，从所有令人满意的分配中随机选择一个分配。这个问题是NP难题，但是有一些标准算法可以从#SAT算法中借用生成近似均匀分布的方法。例如，一种技术是选择一个哈希函数，该哈希函数的范围具有精心选择的大小（大约与的满意赋值数量相同），从的范围内随机选择一个值。$\varphi(x)$$x$$\varphi(x)$$x$$h$$\varphi$$y$$h$，然后使用SAT求解器找到对的满意分配。为了提高效率，您可以选择作为稀疏线性映射。$\varphi(x) \land (h(x)=y)$$h$

这可能是用大炮射击跳蚤，但是如果您没有其他可行的方法，可以尝试一下。

这个问题在开始的一些扩展讨论/分析CS聊天进一步的背景，揭开了问题的复杂要求一些主观性，但没有发现任何直接的错误或疏忽。^1个

这是一些经过测试/分析的代码，与基于SAT的其他解决方案相比，该代码相对“快速且肮脏”，但调试起来并不容易。其松散的概念基于本地伪/贪婪优化有点类似于例如，路线2-OPT的TSP。基本思想是从适合某种约束的随机解决方案开始，然后在本地扰动它以寻找改进，贪婪地搜索改进并进行迭代，并在用尽所有局部改进时终止。设计标准是算法应尽可能有效/避免拒绝。

对于例如在SAGE [5]中使用的重排算法[4]已有一些研究，但是它们并不围绕多集。

简单的扰动只是元组中两个位置的“交换”。实施方式是红宝石。以下是一些参考行号的概述/注释。

qb2.rb（gist-github）

这里的方法是从两个错位的元组（＃106）开始，然后局部/贪婪地提高色散（＃107），并结合称为derangesperse（＃97）的概念，以保持错位。请注意，在元组对中交换两个相同的位置可以保留排列错位并可以改善分散，这就是分散方法/策略的一部分。

该derange子例程在数组（多集）上从左到右工作，并在数组中稍后与其中不与同一元素交换的元素交换（＃10）。如果在最后一个位置没有进一步交换的情况下，两个元组仍处于混乱状态（＃16），则该算法成功。

有3种不同的方法来排列初始元组。第二元组p2总是被拖曳。一个元组1（p1）可以按a.“最高幂一阶”（＃128），b.随机排序（＃127）c.和“最低幂一阶”（“最高幂最后一阶”）（＃126）排序。

分散例程disperse更加复杂，但从概念上讲并不是那么困难。再次使用交换。与其尝试优化所有元素的分散性，不如尝试迭代地缓解当前最坏的情况。这个想法是找1 ^日至少分散元素，从左到右。扰动是将x, y散布最少的对的左元素或右元素（索引）与其他元素互换，但在该对之间绝不交换任何东西（这将始终减小散度），并且跳过尝试与相同元素互换的尝试（select在＃71中） 。m是该对的中点索引（＃65）。

但是，使用每个对（＃25，＃44）中的“最左/最左”色散，对/对（＃40）中两个元组的色散进行测量/优化。

该算法尝试交换“最远”元素^1st（sort_by / reverse＃71）。

有两种不同的策略true, false可以决定是否要交换散布最少的对的左元素或右元素（＃80），左元素用于交换位置到左/右元素到右侧，还是最远的左或右元素在交换对中的分散对中。

当算法无法再提高色散时（结束最差的色散位置的移动或增加整个元组对的最大色散（＃85）），该算法即告完成（＃91）。

会针对c3种方法（＃116）和c= 1000 derangesperses（＃97）上超过= 1000排列的不合格品，输出统计数据，查看2个分散算法以计算出拒绝对中的排列错序对（＃19，＃106）。后者跟踪总平均色散（保证有序后）。运行示例如下

c       0.661000
b       0.824000
a       0.927000
[2.484, 2, 4]
[2.668, 2, 4]

这表明该a-true算法可提供最佳结果，不排斥率约为92％，平均最差分散距离约为2.6，并且在1000次试验中保证至少2次，即在所有相同元素对之间至少存在1个不等插入元素。它发现了多达3个不相等中间元素的解决方案。

排列算法是线性时间预排斥，并且分散算法（在排列不规则的输入上运行）似乎可能约为。$O(n \log n)$

¹问题是找到满足所谓“风水” [1]或“ nice”随机排序的“ quizbowl”包排列方式，其中“ nice”有些主观而尚未“正式”量化；问题的作者根据对quizbowl社区和“风水专家”的研究，将其分析/缩小为混乱/分散的标准。[2] 关于“风水法则”有不同的想法。一些关于算法的“已发表”研究已经完成，但它出现在早期阶段。[3]

[1] 小包风水 / QBWiki

[2] Quizbowl小包和风水 / Lifshitz

[3] 问题放置，HSQuizbowl资源中心论坛

[4] 产生随机排列/ Martinez，Panholzer，Prodinger

[5] 鼠尾草重排算法（python）/ McAndrew