AVL树不平衡吗？

在上一个问题中，有一个平衡树的定义和一个关于红黑树的问题。

这个问题是要问同样的问题，但对于AVL树。

问题是，鉴于平衡树的定义与其他问题相同，$\mu$

是否有一些使所有足够大的AVL树达到平衡？$\mu \gt 0$$\mu$

我认为AVL树只有一种定义，没有歧义。

声明：不，没有这样的。$\mu$

证明：我们给出了一个不断增长的AVL树的无穷序列，其权衡值趋于，与主张相反。$0$

令为高度为的完整树；它有节点。 H ^ 2 ħ + 1 - $C_h$$h$$2^{h+1}-1$

让的斐波那契树高度的 ; 它具有节点。[ 1，2，TAOCP 3 ]$S_h$F h + 2 − $h$$F_{h+2} - 1$

现在让其中T_h = N（S_h，C_h）是我们声称是反例的树序列。 Ť ħ = Ñ （小号ħ，Ç ħ$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

考虑T_h的根的权重平衡值，该值在\ mathbb {N} _ ++中$T_h$为$h \in \mathbb{N}_+$：

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

这证明了结论。

记法：

• $F_n$是第$n$个斐波那契数
• $\phi \approx 1.6$是黄金比率，其共轭。$\hat{\phi} \approx -0.62$
• $f \sim g$表示和渐近相等，即。克LIM Ñ →交通∞ ˚F （Ñ $f$$g$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

注意：斐波纳契树恰好是那些具有给定高度（或等效地，给定数量的节点的最大高度）的最小节点的AVL树。

附录：如果我们没有听到教授提到斐波那契树的话，我们怎么想出来？那么，高度为且具有尽可能少的节点的AVL树会是什么样子？当然，您需要一个根。子树之一需要具有高度，并且我们必须选择具有尽可能少的节点的高度。另一个可以具有高度而不会违反高度平衡条件，因此我们选择的节点数也应尽可能少。本质上，我们递归构造我们想要的树！这些是前四个：h − 1 h − $h$$h-1$$h-2$

^{[ 来源 ]}

我们为高度为的如此构造的树中的节点数建立一个递归：$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

解决它导致我们在上面使用的。$f(h) = F_{h+2} - 1$

Nievergelt和Reingold（1972）在有界平衡的二叉搜索树中给出了相同的证明（细节较少）。