为什么谢弗定理不能证明P = NP？

这可能是一个愚蠢的问题，但我只是不明白。在另一个问题中，他们提出了舍费尔的二分法定理。对我来说，它似乎证明了每个CSP问题都在P或NP完全中，但不在两者之间。由于每个NP问题都可以在多项式时间内转换为CSP（因为CSP是NP完全的），为什么不能证明P和NP-Complete之间没有空间，所以P = NP？

例如，我的想法是，可以将整数分解分解为可满足性问题，因此使用Schaefer定理，它应该是P或NP完全的，但不能介于两者之间（即使我们无法确定它是哪一个）。

看待整个问题的另一种方式：为什么我们不能使用Schaefer定理来确定整数分解是P还是NP-complete？

编辑：回应大卫·里希比的回答（评论太久了）：

有趣，但我尚未完全理解。在使用舍弗定理定义关系伽玛集时，我们可能对其施加限制。例如，我们可以将伽玛限制为仅使用Arity 2关系（然后问题出在P中）。我们可以对伽玛施加什么样的限制？

我们为什么不能强加所有CSP（gamma）实例与（同构为）L完全相同的限制？例如，当对不均匀数进行整数分解时，两个除数之一用二进制表示为xn .. x3 x21。现在，我希望此数字大于1。因此，我具有以下关系（xn或..或x3或x2）。因此，我说伽玛可以与n-1有一个OR关系。但是我不希望该or-relation用于在语言中包含L以外的其他实例，因此我还强加了or-relation中的x2..xn不允许取反。当然，我还需要施加限制，即仅在其中使用特定变量。

是否可以通过这种方式让CSP（γ）同构为整数分解？主要问题是：我们可以对伽玛施加什么样的限制？

编辑2：回应尤瓦尔·菲利弗斯的回答。

我理解您的回答，尽管与David的回答大致相同，但它似乎是正确的。例如，我们可以将因式分解简化为3-sat，然后得出因式分解是NP完全的结论，这是错误的，因为3-sat还有其他实例可能不是因式分解的。

我不了解的部分是实例是（非）任意的。例如，2-SAT在我看来也不是任意的，因为只允许使用arity 2的子句（尽管我必须承认，证明仍然成立，因为它是一个上限，在这种情况下，上限是P）。

NP完整性是一个更好的例子：上面的问题。一个回答者提供了完整的Schaefer证明。但是我对输入施加了重要的限制（允许2-SAT子句和异或子句，但没有其他限制）。当然，证明仍然成立，因为证明中考虑的CSP问题与原始问题完全相同。

我不理解的部分是为什么我们不能对分解进行类似的处理？当然，将其简化为3-SAT是没有用的，但是请允许我给出一个CSP实例，该实例分解一个数字，仅分解一个数字（4位）。（如果您认为可行，请跳至END-OF-SKIP）。

分解实例。

输入：

$n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

现在，让我们将其转换为CSP实例

$n_5..n_1$$m_5..m_1$

$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

关系：

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$

$d_1 \land e_1 = n_1$
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

跳过结束

问题的关键是，在应用Schaefer定理时，我们必须仅考虑此类CSP。（就像2-SAT一样，我们仅考虑Arity 2的CSP）。这样做时，六个多态性之一要么成立，要么不成立（在集合论中节省了一些怪癖）。无论哪种情况，分解都不是NP中间的。

对于3-SAT也可以这样做。然后，我们应该只考虑（使用归约法）表示分解实例的3-SAT实例（现在不再是3-SAT）。

我哪里出错了？

$L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$$L$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$