一字长的一元语言的规则性为两个或两个。三个正方形

9

我考虑一元语言，其中是所有单词的集合，其长度是平方的总和。形式上：很容易证明是不规则的（例如，使用Pumping-Lemma）。此外，我们知道每个自然数都是四个平方的和，这意味着对于所有语言都是规则的，因为。 $L_k$ $L_k$ $k$

L_{k} = {a^{n} ∣ n = \sum_{i = 1}^{k} {n_{i}}^{2}, n_{i} \in N_{0} (1 \leq i \leq k)}

$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$

L_{1} = {a^{n^{2}} ∣ n \in N_{0}}

$L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$

k \geq 4

$k\ge 4$

L_{k}

$L_k$

L_{k} = L (a^{*})

$L_k=L(a^*)$

现在，我对和的情况感兴趣： $k=2$ $k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ ，。 $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

不幸的是，我无法显示这种语言是否正常（即使借助勒让德的三平方定理或费马定理的两个平方之和）。

我很确定至少不是规则的，但不幸的是这并不是证明。有什么帮助吗？ $L_2$

formal-languages regular-languages

— 丹尼
source

也许我们的参考问题（常规的，不是常规的）有有用的指示。

— 拉斐尔

8

让我们从开始。众所周知，两个平方之和的整数的上限密度为0。如果是规则的，则它最终将是周期性的，因此，由于其上限密度为0，因此是有限的。但是我们知道中有任意大的整数，因此不能为正则。 $L_2$ $L_2$ $L_2$ $L_2$

关于，考虑单词。我声称对于，单词是不等价的。实际上，而。然后，Myhill-Nerode准则表明是不规则的。 $L_3$ $w_k = 1^{4^k 7}$ $k < \ell$ $w_k,w_\ell$ $w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$ $L_3$

— Yuval Filmus
source

5

假设是规则的。然后是补码，按照勒让德的三平方定理，它是。根据帕里克定理，这意味着长度的集合是半线性的，即有限并集个线性集合。 $L_3$ $\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$ $S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ $\bigcup_{i=1}^NS_i$ $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

考虑两个元素在，设。如果都在同一个，则或（取决于或）。但 $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ $k_1>k_2$ $r:=k_1-k_2$ $s_1,s_2$ $S_i$ $2s_1-s_2$ $2s_2-s_1$ $s_1<s_2$ $s_1>s_2$

$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ ，其中， $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ ，其中。 $l'=2l_2-4^rl_1$

这些都不在，因此必须位于联合的不同成员中。但这是不可能的，因为是一个有限联合，并且存在无限多个。 $S$ $s_1,s_2$ $S$ $k$

因此，不规则。 $L_3$

— 克劳斯·德拉格
source