什么时候两种常规语言的连接才是明确的？

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由于语言的和，让我们说，他们的级联是明确的，如果所有的单词，恰好有一个分解有和，和暧昧否则。（我不知道该属性是否存在一个确定的术语，这很难搜索！）作为一个简单的示例，与自身的串联是不明确的（ $A$ $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ ），但的级联与本身是明确的。 $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

是否有一种算法来确定两种常规语言的连接是否明确？

— 斯特恩
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Gah，这完全是新生CS问题，不是吗？老实说，我没有做太多尝试。我希望在文献中的某个地方有针对此的既定算法，而不必重新发明轮子。我在这里写软件。我（几年前）只参加了几门CS课程，所以我基本上是从Wikipedia开始的。我知道没有人会喜欢不想为他们的答案而工作的人，因此，如果有教科书或论文或您可以指给我的东西，而不仅仅是给我一个算法，那将是有帮助的！谢谢！

— rstern

我将其添加为评论是因为，虽然它的主题相对不恰当，但也许可以为您提供一些帮助。Unicode联盟有一些确定语言之间通用性的过程。我已经在他们的网站上阅读了一个非常有用的链接，但是对于我自己的一生，今天找不到它可以代替此答案。如果您有时间进行研究，请访问FAQ页面unicode.org/faq

— htm11h 2015年

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提示：给定和 DFA ，请构造一个NFA，该NFA接受具有至少两个不同分解的中的单词。NFA跟踪的标准NFA的两个副本（通过将和 DFA 通过过渡加入）形成，以确保从到的切换发生在两个不同的点。 $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Yuval Filmus
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感谢您的提示！因此，据我所知，我可以为

歧义词构造一个NFA ，然后测试该自动机是否为空。棘手的部分似乎是“确保从

到

的切换发生在两个不同的点”。我不知道怎么做，除了服用两个交叉产品（？）

的DFA和删除所有（的

末端，

末端）产品状态-我handwaving，我很担心从过渡

NFA到

DFA将与的想法螺杆

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -终奌站。听起来，嗯，效率低下；是否有适用于软件的已知算法？

— rstern

是的，虽然总可以选择以一种聪明的方式来做，但这听起来并不太有效。我不知道针对此问题的任何特定算法，但是可能存在。

— Yuval Filmus 2015年

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更新（感谢Yuval Filmus）。

鉴于两种语言和的，让 $X$ $Y$ $A^*$ 我声称是明确的，当且仅如果语言是空的。

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

$XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ and $y_1, y_2 \in Y$ . Without loss of generality, we may assume that $x_1$ is a prefix of $x_2$ , that is, $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

$X^{-1}X \cap YY^{-1}$ contains some nonempty word $z$ . Then there exist $x_1, x_2 \in X$ and $y_1, y_2 \in Y$ such that $x_2 = x_1z$ and $y_2 = zy_1$ . It follows that $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ and hence the product $XY$ is ambiguous.

If $X$ and $Y$ are regular, then both $X^{-1}X$ and $YY^{-1}$ are regular and thus $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ is also regular (see Yuval's answer for an automaton accepting this language).

— J.-E. Pin
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What if

z

$z$ is the empty word?

— Yuval Filmus

Ooops. I update.

— J.-E. Pin