是否确定已知间隔中是否存在素数？

我从关于stackoverflow的帖子中看到，有一些相对较快的算法可以筛分一个数字区间，以查看该区间是否存在质数。但是，这是否意味着以下各项的总体决策问题（（在区间中是否存在质数？）在P中。（该帖子有很多答案我没有看过，因此如果这个问题是一个问题，我深表歉意。重复或不必要）。

一方面，如果间隔足够大（例如），则适用Bertrand's Postulate之类的东西，并且此间隔中肯定有一个素数。但是，我也知道两个质数之间有任意大的距离（例如。 $[N,2N]$$[N!,N!+ N]$

即使决策问题在PI中，也看不到相应的搜索问题也很容易解决，因为那样执行二进制搜索时，我们可能无法利用素数已知分布的相同属性。

所以你的问题如下：

输入：整数 问题：是否存在质数？$\ell,u$
$[\ell,u]$

据我所知，尚不清楚该问题是否在P中。

这是我所知道的：

• 素数测试（给定一个数字，测试其是否为质数）在P中，因此，如果范围足够小，则可以详尽地测试范围内的每个数字以查看其是否为质数-但这不会导致通用算法。

• 如果Cramer的猜想为真，则问题出在P。Cramer的猜想说附近的连续素数之间的距离为，因此以下算法将在P中：迭代数字，分别测试是否为质数；如果找到一个最佳的，则立即回答“是”；如果您打，请停止回答。Cramer的猜想告诉我们，您将在大多数素性测试之后停止，因此该算法将在多项式时间内运行。$n$$O((\log n)^2)$$\ell,\ell+1,\ell+2,\ell+3,\dots$$u$$O((\log \ell)^2)$

  不幸的是，关于主要缺口的已知结果似乎不足以无条件地证明问题出在P中。

• 这是另一个简单的算法：反复从选取一个随机整数，并测试它是否为素数。如果找到素数，或者尝试过每个整数但都不是素数，则停止。从经验上讲，我们应该期望这在实践中是有效的。质数定理告诉我们，如果您随机选择附近的数，则它的质数概率约为。因此，试探性地，我们应该期望在大约次迭代之后，您通常会找到一个素数并停止（如果存在）。另一方面，由于优惠券收集者的问题，如果范围内没有素数$r$$[\ell,u]$$[\ell,u]$$u$$1/\log n$$O(\log u)$$[\ell,u]$，您将在大约次迭代后停止。因此，如果我们对素数之间最长的间隔的大小有一个很好的上限，则意味着问题出在BPP。即使没有这样的上限，随之而来的是随机问题实例也很容易。$O((u-l) \log(u-l))$

• 实际上，可以使用筛分方法来缩短运行时间（例如，避免对可被小素数整除的数字进行任何素数测试）。我不知道这是否可以导致任何渐近性改善。

• 由于这些技术，该问题在实践中可能很容易。

• 由于上述原因，我个人怀疑问题是否是NP完全问题。