仅当至少一个是NP-hard时，NP-完全集才由另外两个集合形成吗？

该问题与先前关于由NP-完全集的集合运算形成的集合的问题相反：

如果由两个可确定集合和并集，交集或笛卡尔乘积得出的集合是NP完全的，则中的至少一个是否一定是NP困难的？我知道它们不能都在P中（假设P！= NP），因为在这些设置操作下P是关闭的。我还知道“可判定”和“ NP难”的条件是必要的，因为如果我们考虑NP 之外的任何NP完全集和另一个集（无论是NP难还是不可判定），那么我们可以形成两个新的NP硬集不在交集为NP完全的NP中。例如：和。但是，此后我不知道如何进行。 $L_1$ $L_2$ $L_1, L_2$ $L$ $B$ $L_1:= 01L \cup 11B$ $L_2:= 01L \cup 00B$

我认为并集的情况可能不正确，因为我们可以采用NP完全集合并按照Ladner定理执行构造，以得到NPI中的集合它是的子集。那么是原始的NP完全集合。但是，我不知道是否仍处于NPI或NP-hard中。对于交叉点和笛卡尔积，我什至不知道从哪里开始。 $A$ $B \in$ $A$ $B \cup (A \setminus B) = A$ $A \setminus B$

complexity-theory np-hard np np-intermediate

— 有里
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如果P = NP，则P中的问题可能是NP完全的，这使您的主张“它们不能同时在P中”是错误的。

— Wojowu

@Wojowu谢谢，您是正确的。我只是假设，可以理解的是，整个问题都是基于P！= NP的前提。否则，这将毫无意义，因为我们将得到NPC =P。我将编辑问题。

— 阿里（Ari）

@Ari，其实，即使。

N P C \neq P

$NPC\not = P$

P = N P

$P=NP$

— Tom van der Zanden

@TomvanderZanden那怎么可能？因此，如果P = NP，则可以在多项式时间内解决NP中的每个问题，包括NPC中的问题。

N P C \subseteq N P

$NPC \subseteq NP$

— 阿里

@Ari空集和所有字符串的集都在，但它们不是 -complete。您不能将任何内容简化为空集（或所有字符串集），因为它始终是no（分别是）实例。

N P

$NP$

N P

$NP$

— 汤姆·范德赞丹2015年

两种非NP硬语言的交集可以是NP硬。示例：任何3SAT实例的解都是HORN-3SAT实例和ANTIHORN-3SAT实例的解的交集。这是因为3CNF子句必须是Horn或anti-Horn子句，而3SAT实例是此类子句的结合。3SAT当然是NP完整的；HORN-3SAT和ANTIHORN-3SAT都在P中。

— 凯尔·琼斯（Kyle Jones）
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我不能效法你的榜样。HORN-SAT和ANTIHORN-SAT的交集是一个很无聊的语言，肯定是P.

— 尤瓦Filmus

HORN-3SAT可以通过多种方式定义。一种方法是修复HORN-3SAT实例的编码-每个字符串编码一个这样的实例-然后HORN-3SAT由可满足的实例组成。此编码可能与您用于ANTIHORN-3SAT的编码不同，因此尚不清楚交集语言到底是什么-绝对不是SAT。

— Yuval Filmus 2015年

另一种可能性是将HORN-3SAT定义为（i）Horn形式，（ii）可满足的3SAT实例的语言。现在，HORN-3SAT和ANTIHORN-3SAT的交集确实有意义：它包含所有3SAT实例，这些实例（i）既是Horn形式又是反Horn形式，（ii）可以满足。这只能是更容易比每个喇叭3SAT和ANTIHORN-3SAT的。

— Yuval Filmus 2015年

这是语言交集的非常奇怪的定义，与此处的含义不同。如果和是语言（例如3SAT），则通过它们的交集表示。

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Yuval Filmus，2015年

@ KyleJones @ Yuval我认为关于实例和语言可能会有一些混淆。虽然每个实例 3SAT的纯粹的号角条款和反Horn子句肯定是组成，它是没有的情况下，该语言等于或可替代，因为这些组具有各自组成的情况下单独的Horn子句或反Horn子句而3SAT的每个实例可以具有这两种类型的条款的混合物..

3 S A T

$\mathsf{3SAT}$

H O R N 3 S A T \cap A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

H O R N 3 S A T \cup A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

— 阿里