有关并行计算和NC类的一些问题

关于这两个主题，我有很多相关问题。

首先，大多数复杂文本仅覆盖。有没有很好的资源可以更深入地涵盖研究？例如，下面讨论我所有问题的内容。另外，我假设由于与并行化的联系仍然有大量研究，但我可能是错的。复杂性动物园中的部分并没有太大帮助。$\mathbb{NC}$$\mathbb{NC}$

其次，如果我们假设半组运算需要恒定的时间，则在半组上的计算将在进行。但是，如果运算不占用固定时间（无界整数就是这种情况）怎么办？是否存在任何已知的问题？$\mathbb{NC}^1$$\mathbb{NC}^i$

第三，由于，是否有一种算法可以将任何logspace算法转换为并行版本？$\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$

第四，听起来大多数人都以相同的方式假设。这背后的直觉是什么？$\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$$\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$

第五，我读过的每一篇文章都提到了但没有给出其中所包含问题的示例。有吗$\mathbb{RNC}$

最后，该答案提到了存在亚线性并行执行时间的问题。这些问题有哪些例子？是否还有其他复杂性类包含未知的并行算法？$\mathbb{P}$$\mathbb{NC}$

第三，由于，是否有一种算法可以将任何日志空间算法转换为并行版本？$\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

给定 -time TM，可以证明（Arora和Barak教科书），一个遗忘的TM（即，其头部运动与其输入无关的TM ）可以构造电路来计算其中。$t(n)$$M$$M'$$x$$C_n$$M(x)$$|x| = n$

证明草图遵循以下步骤：让模拟并在每个时间步长（考虑计算日志）定义其状态（即头部位置，头部符号）的“快照” 。每个步骤可以根据和状态来计算。由于每个快照仅包含一个恒定大小的字符串，并且仅存在恒定数量的该大小的字符串，因此处的快照可以由恒定大小的电路计算。$M'$$M$$t_i$$t_i$$x$$t_{i-1}$$t_i$

如果您为每个组成恒定大小的电路，则我们有一个计算的电路。利用这个事实，加上语言使用的限制，我们看到电路$t_i$$M(x)$$M$$\sf{L}$$C_n$定义为logspace-uniform，其中均匀性仅意味着我们电路家族中的电路计算M （x ）都有相同的算法。对于输入大小为n的每个电路，不是定制算法。$\{C_n\}$$M(x)$$n$

再次，从统一的定义，我们可以看到，电路决定在任何语言中必须有一个函数大小（ñ ）可计算在Ø （日志ñ ）。电路系列A C 1的最大深度为O （log n ）。$\sf{L}$$\text{size}(n)$$O(\log n).$$\sf{AC}^1$$O(\log n)$

最后，可以看出，提供有问题的关系。$\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$

第四，它听起来像大多数人认为以同样的方式，P ≠ ñ P。这背后的直觉是什么？$\sf{NC} \neq \sf{P}$$\sf{P} \neq \sf{NP}$

在继续之前，让我们定义完整性的含义。$\sf{P}$

语言是P -complete如果大号∈ P和每一种语言P是LOGSPACE还原它。此外，如果L为P -complete，则满足以下条件$L$$\sf{P}$$L \in \sf{P}$$\sf{P}$$L$$\sf{P}$

1. $L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$

2. $L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

现在我们认为是由并行计算机（我们的电路）有效决定的语言类别。P中有些问题似乎无法抵抗并行化的任何尝试（即线性编程和电路值问题）。也就是说，某些问题需要以逐步的方式进行计算。$\sf{NC}$$\sf{P}$

例如，电路值问题定义为：

给定的电路，输入X和栅极克∈ Ç，什么是输出克上Ç （X ）？$C$$x$$g \in C$$g$$C(x)$

我们不知道如何计算这比任何计算所有的城门更好之前来摹。给定它们中的一些可以并行计算，例如，如果它们全部都出现在某个时间步长t i，但是由于明显的困难，我们不知道如何计算在时间步长t i和时间步长t i + 1处的门输出，在门牛逼我+ 1需要门的输出在牛逼我！$g'$$g$$t_i$$t_i$$t_{i+1}$$t_{i+1}$$t_i$

这是的直觉。$\sf{NC} \neq \sf{P}$

限制并行计算是一本关于在Garey＆Johnson公司的类似静脉-Completeness ň P -Completeness书。$\sf{P}$$\sf{NP}$

第五，我读过的每一篇文章都提到了RNC类，但没有给出其中所包含问题的示例。有吗

Mulmuley，Vazirani和Vazirani撰写的论文“匹配就像矩阵求逆一样容易”具有类问题的几个示例。最主要的是找到一个最大的匹配，然后将其他问题减少到这一匹配。$\mathbb{RNC}^2$