术语重写；计算关键对

我曾尝试解决以下练习，但在尝试找到所有关键对时陷入困境。

我有以下问题：

我怎么知道哪个关键对产生了新规则？
我怎么知道我找到了所有关键对？

令 $\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}$ 其中 $\circ$ 是二进制， $i$ 是一元， $e$ 是常数。
$E = {\begin{matrix} (x \circ y) \circ z \approx x \circ (y \circ z) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i (x) \approx e \end{matrix}}$ $E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\}$

到目前为止我的工作：

$x\circ e >_{\textsf{lpo}} x$ （LPO 1） $x$ 是一个变量

$x\circ i(x)>_{\textsf{lpo}} e$ （LPO 2B）有在右手侧没有条件

$(x\circ y)\circ z\approx x\circ(y\circ z)$

（LPO 2c） $s=\circ(\underset{\large s_1}{\circ(x,y)},\underset{\large s_2}{\strut z})\qquad t=\circ (\underset{\large t_1}{x\strut}, \underset{\large t_2}{\circ(y,z)})$

检查，（LPO 1）来证明（LPO 2C）证明了 $s>t_j$ $j=\overline{1,m}$

$s>_{\textsf{lpo}}t_1$

$s>_{\textsf{lpo}}t_2$ $s >_{lpo} y (LPO 1); s >_{lpo} z (LPO 1); \circ (x, y) > y (LPO 1)$ $s>_{\textsf{lpo}} y \;\;\text{(LPO 1)};\qquad s>_{\textsf{lpo}}z \;\;\text{(LPO 1)};\qquad \circ(x,y)>y\;\;\text{(LPO 1)}$

找到使得 $i$ $s_i>_{\textsf{lpo}}t_i$ $i=1$ $\circ (x, y) >_{lpo} x (LPO 1)$ $\circ(x,y)>_{\textsf{lpo}}x\;\;\text{(LPO 1)}$

$(x\circ y)\circ z>_{\textsf{lpo}} x\circ (y\circ z)$

一个。 $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ e\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ e$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;e\}$ b。
$\begin{matrix} (x_{1} \circ e) \circ z & \overset{}{\to} & x_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ x_{1} \circ (e \circ z) & \overset{}{\to} & e \circ z \approx z \end{matrix} left identity?$ $\require{AMScd} \require{cancel} \begin{CD} (x_1\circ e)\circ z @>>> \cancel{x_1}\circ z\\ @VVV @VVV\\ \cancel{x_1}\circ(e\circ z) @>>> e\circ z\approx z \end{CD}\qquad\text{left identity?}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$e\circ x_1\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} e\circ x_1$

$\theta\{x \;\leftarrow \;e;\; y\;\leftarrow \;x_1\}$ C。 $\begin{matrix} (e \circ x_{1}) \circ z & \overset{}{\to} & x_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ e \circ (x_{1} \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (e\circ x_1)\circ z @>>> x_1\circ z\\ @VVV @VVV\\ e\circ(x_1\circ z) @>>> ? \end{CD}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ i(x_1)\;\rightarrow\; e$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ i(x_1)$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;i(x_1)\}$ $\begin{matrix} (x_{1} \circ i (x_{1})) \circ z & \overset{}{\to} & e \circ z \\ ↓ & ↓ \\ x_{1} \circ (i (x_{1}) \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (x_1\circ i(x_1))\circ z @>>> e\circ z\\ @VVV @VVV\\ x_1\circ(i(x_1)\circ z) @>>> ? \end{CD}$

作为支持文档，我有Franz Baader和Tobias Nipkow撰写的“术语重写及所有内容”。

（原始图片在这里）

编辑1

搜索关键对后，我有以下规则集（假设2.a是corect）：

E = {\begin{matrix} (x \circ y) \circ z \approx x \circ (y \circ z) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i (x) \approx e \\ x \circ (i (x) \circ y) \approx y \\ x \circ (y \circ i (x \circ y)) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{matrix}}

$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \\ x \circ (i(x) \circ y) \approx y \\ x \circ ( y \circ i(x \circ y) ) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{gather} \right\}$

logic first-order-logic

— 亚历山德鲁·辛潘努（Alexandru Cimpanu）
source

@MartinSleziak我的意思是，我使用，以解决问题的文件是项重写和所有”由弗兰茨·巴德和Tobias尼普科夫而且该概念和符号的风格是从那里。

— 亚历Cimpanu

我不确定这是否对您有任何帮助，但是搜索“关键对”，“术语重写”，“组公理”会导致出现一些幻灯片，这些幻灯片讨论了系统的关键点。（或至少非常相似的系统）。看到这里或这里。

— 马丁

@MartinSleziak，我看了看幻灯片，这时它们可能有用，我是挣扎着这本书的国王。我目前正在尝试一些想法。感谢您的帮助。

— Alexandru Cimpanu 2015年

$x\circ(e\circ z) \approx x\circ z$ $0*x \approx 0*y$ $x\approx y$ （这意味着您只有一个简单的模型）。包括Huet在内的任何声音重写程序都不应允许这种降低。

$x\circ e$ $x\circ i(x)$ $(x\circ y)\circ z$ $\circ$

$x\circ(y\circ e)\leftarrow (x\circ y)\circ e\to x\circ y$ $x\circ y\approx x\circ y$
$x\circ(y\circ i(x\circ y))\leftarrow(x\circ y)\circ i(x\circ y)\to e$ $x\circ(y\circ i(x\circ y))\to e$ $\circ\triangleright e$ $\triangleright$ $x\circ i(x)\approx e$

对于基本完成过程：

$x\circ(i(x)\circ z)\to e\circ z$ $(x\circ y)\circ z$ $x_1\circ y_1$ $(x\circ y)\circ(z\circ z_1)\leftarrow((x\circ y)\circ z)\circ z_1\to(x\circ(y\circ z))\circ z_1$ $x\circ(y\circ(z\circ z_1))\approx x\circ(y\circ(z\circ z_1))$ 并弃去。
$l\to r$ $l_1\to r_1,\dots,l_n\to r_n$ $l$ $l_i$ $l$

此过程可以大大改善。特别是，您可以使用新规则来简化旧规则（如果它们变得琐碎，则有可能丢弃它们，这意味着它们已被新规则所包含），并且很好的启发式方法可以挑选出下一个关键对进行检查，从而大大减少规则数量。

— 克劳斯·德拉格
source

在谈论Huet的完成程序时，我们可以像2.a这样简化吗？

— 亚历山德鲁·辛潘努

您如何将x∘e或x∘i（x）与所有（x∘y）∘z统一（即使用第二个∘）？

— Alexandru Cimpanu 2015年

关于在2.a进行的简化，它是在课堂上完成的，因此它背后必须有一些逻辑。

— 亚历山德鲁·辛潘努

您是否正在处理条件方程组，并且您的公理包括左可取消性（

x * y = x * z \Rightarrow y = z

$x*y=x*z\Rightarrow y=z$ ）？这是您在2.a中执行的步骤，如果由公理证明是正确的，则可以。但是，即使那样也只是捷径-严格来说，您首先要导出未简化的方程式，然后通过条件方程式获得简化的方程式，然后摆脱未简化的方程式（因为已将其包含在内）。

— 克劳斯·德拉格2015年

我不知道。我认为这与高级完成程序（我不熟悉）有关。假设2.a是正确的，我编辑了问题以发布获得的新规则。

— 亚历山德鲁·辛潘努