Questions tagged «first-order-logic»

在我看来，英语中的“隐含”与逻辑运算符“隐含”的含义不同，在大多数情况下，“或”一词在我们日常语言使用中的含义类似于“异或”。 让我们举两个例子： 如果今天是星期一，那么明天是星期二。 这是真的。 但是，如果我们说： 如果太阳是绿色的，那么草是绿色的。 这也被认为是正确的。为什么？这背后的自然英语“逻辑”是什么？这让我震惊。

24 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic 

我最近在考虑矛盾证明的有效性。在过去的几天里，我已经阅读了有关直觉逻辑和戈德尔定理的东西，看它们是否能为我提供我的问题的答案。现在，我仍然有一些疑问仍在徘徊（也许与我阅读的新材料有关），希望能得到一些答案 （警告：您将要开始阅读具有非常混乱的逻辑基础的内容，带着一丁点的知识来接受所有内容，它应该是一个问题而不是一个答案，其中存在许多误解）。 我认为我的主要问题是，一旦我们证明不是A会导致某些矛盾，因此不是A必须为假，那么我们就得出结论，A必须为真。这部分是有道理的（特别是如果我接受排除中间法则是有意义的话），但令我困扰的是那种如何通过矛盾进行证明。首先，我们不以A开头，然后仅应用公理和推理规则（以机械方式说），然后看看将我们带到何处。它通常会产生矛盾（比如说A是正确的，或者和是正确的）。我们得出结论，不是A必须为假，所以A为真。没关系。但是我的问题是，正式系统具有什么样的保证φ¬ φ¬φ\neg \varphiϕϕ\phi如果我使用相同的过程但从A开始，那我也不会在这里遇到矛盾吗？我认为，有一些隐含的假设正在通过矛盾进行证明，即如果类似地在A人中执行相同的流程也不会产生矛盾，那么我们将获得什么样的保证呢？有没有证明是不可能的？换句话说，如果我的车床（TM）（或超级TM）永远消失了，它从假定的真实语句A开始尝试了所有公理的所有逻辑步骤一种一种A，那么这保证了它不会由于发现矛盾而停止运行？ 然后，我用戈德尔的不完全性定理对我过去的问题进行了一些联系，该定理是这样的： 表达算术的形式系统F不能证明其自身的一致性（在F内）。 基本上，这使我很清楚，如果那是真的，那么保持一致性（即保证A而不是A不会发生）是不可能的。因此，似乎矛盾证明只是隐含地假设一致性得到了保证（否则，为什么它会继续前进并通过证明A成立，如果它还不知道一致性的话就不可能证明A是正确的）。和矛盾在哪里好，对于任何一对陈述A而不是A）？这是不正确的还是我错过了什么？ 然后我想，好吧，让我们在公理中加入排除中间的规则，然后解决所有问题。但是后来我意识到，等一下，我们只是在定义问题而不是解决问题。如果我只是强行定义我的系统是一致的，那并不一定意味着它实际上是一致的……对吗？我只是想弄清楚这些想法，但我不确定该怎么做，但这是我在几天后从几乎所有这些概念，矛盾，排他的中间，直觉主义逻辑，戈德尔的完备性和不完备性定理… 与此相关的是，如果没有排除中间（或矛盾）的规则，似乎实际上不可能直接直接证明某件事是假的。证明系统似乎擅长证明真实的陈述，但据我所知，它无法直接表明事物是错误的。也许他们做事的方式更间接地与矛盾（当他们表明某事一定是虚假的或坏事发生）或排除在中间（在其中仅知道一个A的真实价值或我们知道另一个A的真实价值）时，提供反例（基本上表明相反的说法是正确的，因此间接使用排除中间律）。我想也许我真的想要一个有建设性的证据，证明什么是假的？ 我想，如果我能知道如果我证明A不是错误的话（例如我接受矛盾），那的确可以，并且我不需要对A无限地应用所有推理规则和公理，并且可以保证A赢了没有矛盾。如果那是真的，那么我想我可以更容易接受矛盾证明。这是真的，还是哥德尔的第二次残缺保证我不能拥有这个？如果我不能做到这一点，那么令我困惑的是，这么多年的数学家甚至没有发现不一致的地方，怎么可能做数学呢？我需要依靠一致性的经验证据吗？或者例如，我通过证明superF证明F来证明F是一致的，但是由于我实际上从不需要superF而仅需要F，那么我不能满足于真正起作用吗？ 我只是注意到，我的投诉也涉及到直接证据。好吧，如果我做了A的直接证明，那么我知道A是正确的……但是我怎么知道如果我做了非A的直接证明，那么我也不会得到正确的证明？似乎同一问题的重点稍有不同。

19 logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

我正在阅读以下问题：一致性和完整性暗示着健全性吗？里面的第一句话说： 我了解健全性意味着一致性。 这让我感到很困惑，因为我认为稳健性比一致性弱得多（即我认为一致性系统必须健全，但我猜这不是真的）。我在MIT的6.045 / 18.400课程中使用Scott Aaronson的非正式定义来保持一致性和健全性： 健全性=如果证明系统证明的所有陈述实际上都是真实的（可证明的一切都是真实的），则证明系统是正确的。即IF（ϕϕ\phi是可证明的）⟹⟹\implies（ϕϕ\phi为True）。因此，如果IF（有一个通往公式的路径）然后（该公式为True） 一致性=一致的系统永远不会证明A和NOT（A）。因此，只有一个A或它的取反可以为True。 考虑到这些（可能是非正式的）定义，我构造了以下示例，以说明存在一个健全但不一致的系统： CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \} 我认为这是一个声音系统的原因是因为根据假设，该公理是正确的。因此，A和A都不成立（是的，我知道不包括排除中间定律）。因为唯一的推论规则是否定，所以我们可以从公理到达A而不是A并互相到达。因此，我们仅针对该系统得出True陈述。但是，系统当然并不一致，因为我们可以证明系统中唯一语句的取反。因此，我证明了声音系统可能不一致。为什么这个例子不正确？我做错什么了？ 在我看来，这在直觉上是有道理的，因为稳健性只是说，一旦我们从推理开始并且公理并推论推理规则，我们只会到达目标为True的目的地（即语句）。但是，它并不能真正说明我们到达哪个目的地。但是，一致性表示我们只能到达达到或（两者都不都是）的目标。因此，每个一致的系统都必须将排除中律定律作为一个公理，我当然没有这样做，然后仅将唯一公理的否定作为唯一其他公理。因此，我感觉自己做的事情并不聪明，但是某种程度上出了什么问题？¬ 一个AAA¬A¬A\neg A 我只是意识到这可能是一个问题，因为我使用的是Scott的非正式定义。甚至在我写问题之前，我都检查过维基百科，但对我来说它们的定义没有意义。他们特别说的是： 关于系统的语义 他们的完整报价是： 就系统的语义而言，系统中可以证明的每个公式在逻辑上都是有效的。

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我曾尝试解决以下练习，但在尝试找到所有关键对时陷入困境。 我有以下问题： 我怎么知道哪个关键对产生了新规则？ 我怎么知道我找到了所有关键对？ 令Σ={∘,i,e}Σ={∘,i,e}\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}其中∘∘\circ是二进制，iii是一元，eee是常数。 E=⎧⎩⎨⎪⎪(x∘y)∘z≈x∘(y∘z)x∘e≈xx∘i(x)≈e⎫⎭⎬⎪⎪E={(x∘y)∘z≈x∘(y∘z)x∘e≈xx∘i(x)≈e} E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\} 到目前为止我的工作： x∘e>lpoxx∘e>lpoxx\circ e >_{\textsf{lpo}} …

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