为什么健全性意味着一致性？

我正在阅读以下问题：一致性和完整性暗示着健全性吗？里面的第一句话说：

我了解健全性意味着一致性。

这让我感到很困惑，因为我认为稳健性比一致性弱得多（即我认为一致性系统必须健全，但我猜这不是真的）。我在MIT的6.045 / 18.400课程中使用Scott Aaronson的非正式定义来保持一致性和健全性：

1. 健全性=如果证明系统证明的所有陈述实际上都是真实的（可证明的一切都是真实的），则证明系统是正确的。即IF（$\phi$是可证明的）$\implies$（$\phi$为True）。因此，如果IF（有一个通往公式的路径）然后（该公式为True）
2. 一致性=一致的系统永远不会证明A和NOT（A）。因此，只有一个A或它的取反可以为True。

考虑到这些（可能是非正式的）定义，我构造了以下示例，以说明存在一个健全但不一致的系统：

我认为这是一个声音系统的原因是因为根据假设，该公理是正确的。因此，A和A都不成立（是的，我知道不包括排除中间定律）。因为唯一的推论规则是否定，所以我们可以从公理到达A而不是A并互相到达。因此，我们仅针对该系统得出True陈述。但是，系统当然并不一致，因为我们可以证明系统中唯一语句的取反。因此，我证明了声音系统可能不一致。为什么这个例子不正确？我做错什么了？

在我看来，这在直觉上是有道理的，因为稳健性只是说，一旦我们从推理开始并且公理并推论推理规则，我们只会到达目标为True的目的地（即语句）。但是，它并不能真正说明我们到达哪个目的地。但是，一致性表示我们只能到达达到或（两者都不都是）的目标。因此，每个一致的系统都必须将排除中律定律作为一个公理，我当然没有这样做，然后仅将唯一公理的否定作为唯一其他公理。因此，我感觉自己做的事情并不聪明，但是某种程度上出了什么问题？¬ $A$$\neg A$

我只是意识到这可能是一个问题，因为我使用的是Scott的非正式定义。甚至在我写问题之前，我都检查过维基百科，但对我来说它们的定义没有意义。他们特别说的是：

关于系统的语义

他们的完整报价是：

就系统的语义而言，系统中可以证明的每个公式在逻辑上都是有效的。

我建议您研究模糊的，手工的波浪形描述之外的形式逻辑。它很有趣并且与计算机科学高度相关。不幸的是，即使是专门针对形式逻辑的教科书，其术语和狭窄的关注点也可能呈现出什么是逻辑的扭曲图景。问题是，在大多数时候，数学家谈论“逻辑”时，他们（通常是隐含地）指的是古典命题逻辑或古典一阶逻辑。尽管这些是极其重要的逻辑系统，但它们远不及逻辑广度。无论如何，我要说的主要是在狭窄的上下文中发生的，但是我想弄清楚它是在特定的上下文中发生的，不需要在其外部是真实的。

首先，如果将一致性定义为不同时证明和，那么如果我们的逻辑甚至没有取反或¬ 一个$A$$\neg A$$\neg$还有其他意思吗？显然，这种一致性概念对它在其中运行的逻辑上下文进行了一些假设。通常，这是我们在古典命题逻辑或它的某些扩展部分（例如古典一阶逻辑）中进行的工作。有多种表示形式，即公理和规则列表，可以称为经典命题/一阶逻辑，但就我们的目的而言，这并不重要。在某种合适的意义上，它们是等效的。通常，当我们谈论逻辑系统时，是指（经典）一阶理论。这始于经典一阶逻辑的规则和（逻辑）公理，您可以在其中添加给定的功能符号，谓词符号和公理（称为非逻辑公理）。这些一阶理论通常是我们

其次，健全性通常是指语义上的健全性。一致性是一种语法性质，与我们可以提供的形式证明有关。健全性是一种语义属性，与我们将公式，功能符号和谓词符号解释为数学对象和语句的方式有关。为了甚至开始谈论健全性，您需要给出语义，即对前述事物的解释。同样，我们在逻辑连接词和逻辑公理与功能符号，谓词符号和非逻辑公理之间进行了分隔。从语义的角度来看，使连接词和逻辑公理成为逻辑公理的原因是，它们被语义特别对待，而功能符号，谓词符号和非逻辑公理则没有。$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$在这里使用作为公式的解释。特别是，其中是域集。这个想法是将公式解释为满足该公式的一组（元组）域元素。一个封闭的公式（即没有自由变量的公式）被解释为无效关系，也就是说，一个单例集的子集只能是那个单例或空集。如果封闭公式未解释为空集，则为“ true”。从以上意义上说，稳健性就是每个可证明（封闭）公式为“真”的陈述。$[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

从这里，甚至从我给出的草图中，都可以很容易地证明稳健性意味着一致性（在经典的一阶逻辑和我绘制的语义的上下文中）。如果您的逻辑是合理的，那么每一个可证明的公式解释为一个非空集，但是始终解释为空集无论公式是什么是，所以它不可证明，即您的逻辑是一致的。

健全性和一致性是演绎系统的特性。只能根据假定独立于演绎系统给出的某些语义来定义健全性。

在语义领域中，两个属性是相关的

定义1（健全性[语义]-取自Wikipedia）演绎系统的健全性是这样的属性：在该演绎系统中可证明的任何句子在语义理论的所有解释或结构上也都适用是基于。

定义2（一致性[语义]）一组的句子的中的语言是一致的，当且仅当存在该语言的结构，在满足所有句子。如果存在一个满足其中所有可证明公式的结构，则演绎系统是一致的。L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

通过上面给出的两个定义，很明显，健全性意味着一致性。即，如果所有可证明句子的集合在语言的所有结构中均成立，则至少存在一个满足它们的结构。

你证明系统既不是声音也不是一致的，因为是不是一个真命题，除非，在这种情况下，不是一个真命题。该论据表明，每个隔音系统也是一致的。$A$¬ 一个＆equiv; $A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

通常，当我们提出逻辑系统时，它们是受试图描述先前存在的现象的激励。例如，Peano算术是尝试对自然数以及加法和乘法运算进行公理化。

健全性只能相对于您要描述的现象进行定义，从本质上讲，这意味着您的公理和推理规则确实可以描述问题。因此，例如，Peano算术之所以合理，是因为其公理和推理规则确实适用于自然数。

当然，这意味着您具有Peano定义之外的“自然数”概念，并且对自然数的正确或错误有一些概念，而没有从任何特定的公理中得出这些真相。试图解释这些真相的来源或如何对其进行验证可以使您陷入哲学上的困境。但是，如果您假设存在自然数，并且有一些关于它们的真实事实，那么您可以将公理化计划视为只是试图提出一个简洁的正式规范，其中许多最重要的可以得出真理。如果可以证明的一切实际上都在预先指定的事实集合中，那么公理化就很合理，也就是说，

（特别要注意的是，您的正式规范不会证明自然数的所有正确事实，而且由于存在Peano公理所在的其他结构与自然数不同，因此不会唯一地描述自然数也是如此。）

至少在一阶逻辑中，一个理论是一致的，前提是它根本没有任何模型。健全性意味着它具有您想要的特定模型：您试图用理论描述的特定结构确实是您理论的模型。从这个角度来看，很清楚为什么健全性意味着一致性。

作为一个一致但不健全的理论的一个示例：Peano算术PA能够将逻辑公式编码为算术结构，尤其是可以对句子“ PA isconsistent”进行编码（“ PA的公理”）。将此句子称为Con（PA）。您可能还知道，由于哥德尔的第一个不完备性定理，（因为它是合理的，因此是一致的），PA不能证明Con（PA）。这也意味着理论PA +$\neg$Con（PA）不能证明矛盾，因此必须一致。但这并不是听起来很合理：它声称存在一个自然数，该自然数编码来自PA公理的虚假证据，但在“真实”自然数中不可能有这样的数，因为否则我们可以提取证明PA不一致的真实证据。

PA + Con（PA）具有模型，但是它们是必须包含“额外”对象，“非标准自然数”的模型，其中包括它声称对所涉及的“证明”进行编码的模型。该理论根本没有配备必要的工具来区分这些非标准元素和的真实会员，或证明该证明不是合法证明。$\neg$$\mathbb N$

您也可以将其解释为：PA + Con（PA）是一个完全合法的逻辑系统-它只是不能准确地描述自然数，并且自然数也不是它的模型。$\neg$

还有一件事：根据定义，我们不认为公理是正确的。根据定义，所有公理只是证明的基本构建块。它们只是声明：当应用于特定的数学对象时，它们只是对还是错。您可能会有错误的公理，这很愚蠢，因为这样您的系统必然会立即变得不健全。

为了给出一个简洁（直观）的答案，我将解释斯科特·亚伦森在他的6.045 / 18.400 MIT演讲中所说的话。他说了这样的话：

健全意味着可证明的一切都是真实的。由于一致性意味着不存在任何矛盾，并且健全性已经涉及真相的概念，因此真相必须是一致的（即True！= False），因此它必须表示声音系统也必须是一致的。健全性意味着一致性，因为（真实）真实的事物没有矛盾。

现在，我进行了反思，我意识到我有一些不正确的假设/想法：

1. 我没有意识到健全性与语义有关。因此，我没有意识到仅使用公理中的推理规则还不足以导致真正的后果（并且它不能保证这一点，只要我们从公理开始，我就认为不可能达到矛盾的目的）。使用有效的推理规则）。
2. 我认为，只要公理是正确的，并且推理规则有意义，那么进行的所有操作都是正确的。我现在意识到这可能是不正确的，因为如果我们只有大量的公理和推论规则，那么如果后面的所有事情都是正确的，则很难推理。即仅从一个公理开始并使用有效的推理规则不足以保证下一步将是正确的。
3. 前一种本质上与我没有意识到复杂性有两个层次的事实有关：1）语义2）句法。对符号进行曲折游戏可能会导致矛盾。
4. 我没有意识到我不知道对真理的正确描述，德里克在描述真理方面做得很好。