如果没有排除中间定律，可以通过矛盾进行证明吗？

我最近在考虑矛盾证明的有效性。在过去的几天里，我已经阅读了有关直觉逻辑和戈德尔定理的东西，看它们是否能为我提供我的问题的答案。现在，我仍然有一些疑问仍在徘徊（也许与我阅读的新材料有关），希望能得到一些答案

（警告：您将要开始阅读具有非常混乱的逻辑基础的内容，带着一丁点的知识来接受所有内容，它应该是一个问题而不是一个答案，其中存在许多误解）。

我认为我的主要问题是，一旦我们证明不是A会导致某些矛盾，因此不是A必须为假，那么我们就得出结论，A必须为真。这部分是有道理的（特别是如果我接受排除中间法则是有意义的话），但令我困扰的是那种如何通过矛盾进行证明。首先，我们不以A开头，然后仅应用公理和推理规则（以机械方式说），然后看看将我们带到何处。它通常会产生矛盾（比如说A是正确的，或者和是正确的）。我们得出结论，不是A必须为假，所以A为真。没关系。但是我的问题是，正式系统具有什么样的保证$\neg \varphi$$\phi$如果我使用相同的过程但从A开始，那我也不会在这里遇到矛盾吗？我认为，有一些隐含的假设正在通过矛盾进行证明，即如果类似地在A人中执行相同的流程也不会产生矛盾，那么我们将获得什么样的保证呢？有没有证明是不可能的？换句话说，如果我的车床（TM）（或超级TM）永远消失了，它从假定的真实语句A开始尝试了所有公理的所有逻辑步骤$A$，那么这保证了它不会由于发现矛盾而停止运行？

然后，我用戈德尔的不完全性定理对我过去的问题进行了一些联系，该定理是这样的：

表达算术的形式系统F不能证明其自身的一致性（在F内）。

基本上，这使我很清楚，如果那是真的，那么保持一致性（即保证A而不是A不会发生）是不可能的。因此，似乎矛盾证明只是隐含地假设一致性得到了保证（否则，为什么它会继续前进并通过证明A成立，如果它还不知道一致性的话就不可能证明A是正确的）。和矛盾在哪里好，对于任何一对陈述A而不是A）？这是不正确的还是我错过了什么？

然后我想，好吧，让我们在公理中加入排除中间的规则，然后解决所有问题。但是后来我意识到，等一下，我们只是在定义问题而不是解决问题。如果我只是强行定义我的系统是一致的，那并不一定意味着它实际上是一致的……对吗？我只是想弄清楚这些想法，但我不确定该怎么做，但这是我在几天后从几乎所有这些概念，矛盾，排他的中间，直觉主义逻辑，戈德尔的完备性和不完备性定理…

与此相关的是，如果没有排除中间（或矛盾）的规则，似乎实际上不可能直接直接证明某件事是假的。证明系统似乎擅长证明真实的陈述，但据我所知，它无法直接表明事物是错误的。也许他们做事的方式更间接地与矛盾（当他们表明某事一定是虚假的或坏事发生）或排除在中间（在其中仅知道一个A的真实价值或我们知道另一个A的真实价值）时，提供反例（基本上表明相反的说法是正确的，因此间接使用排除中间律）。我想也许我真的想要一个有建设性的证据，证明什么是假的？

我想，如果我能知道如果我证明A不是错误的话（例如我接受矛盾），那的确可以，并且我不需要对A无限地应用所有推理规则和公理，并且可以保证A赢了没有矛盾。如果那是真的，那么我想我可以更容易接受矛盾证明。这是真的，还是哥德尔的第二次残缺保证我不能拥有这个？如果我不能做到这一点，那么令我困惑的是，这么多年的数学家甚至没有发现不一致的地方，怎么可能做数学呢？我需要依靠一致性的经验证据吗？或者例如，我通过证明superF证明F来证明F是一致的，但是由于我实际上从不需要superF而仅需要F，那么我不能满足于真正起作用吗？

我只是注意到，我的投诉也涉及到直接证据。好吧，如果我做了A的直接证明，那么我知道A是正确的……但是我怎么知道如果我做了非A的直接证明，那么我也不会得到正确的证明？似乎同一问题的重点稍有不同。

您问（我让您的问题更明确）：“有什么形式上的保证，不可能同时出现和导致矛盾？” 您似乎担心，如果逻辑不一致，那么通过矛盾证明是有问题的。但这不是事实。$\lnot p$$p$

如果逻辑不一致，那么通过矛盾证明仍然是推理的有效规则，但它的否定规则也是如此，从的规则可以断定你是下一位教皇。逻辑上的不一致不会使任何内容无效：相反，它可以验证所有内容！$1 + 1 = 2$

还有另一个可能引起混乱的原因：您的问题的标题可能被理解为暗示被排除的中间定律表明逻辑是一致的。那是不对的。逻辑的一致性等于“陈述和它的否定词都不具有证明”，而排除中间则是允许我们证明形式的陈述的规则。$p \lor \lnot p$

补充：我不明白为什么这个问题引起如此多的讨论。我很难理解实际上是什么困境，据我所知，这个问题是由某种误解引起的。如果有人可以阐明这个问题，我将不胜感激。另外，我想提请注意以下几点：

1. 通过矛盾证明和排除中间证明是彼此等同的，因此，所写的标题毫无意义。当然，我们不能一无所有，它们是等效的。

2. 从问题的冗长讨论中可以理解，OP似乎在说或担心，逻辑不一致会使证明无效。正如我在上面指出的那样，这是错误的。我希望OP做出某种回应：OP可以看到逻辑上的不一致（即能够证明一切）如何不会使任何证明无效吗？

3. 我会找到它，但真的不能告诉是肯定的，那OP认为排中国家的法律，这是不可能的两个和¬ p，以保持（用公式：¬ （p ∧ ¬ p ））。这不排除中间。它有时被称为不矛盾定律，并且是可证明的（不排除中间）。$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OP认为“没有排除中间因素就不可能直接证明某事是假的”。他使否定的证明和矛盾的证明混淆了，这不是一回事。链接的帖子中有大量的构造性证据，证明某些东西是错误的。实际上，在教科书中发现的大多数关于虚假内容的证据都具有建设性。

5. 由于我可以辨别出戈德尔的残缺不全。哥德尔不完备提供了一个句子使得既不ģ也不¬ ģ是可证明的。这并不意味着摹∨ ¬ 摹是不可证明的（它是由排中的一个简单的应用程序）！它也不意味着¬ ģ ∧ ¬ ¬ ģ成立时，或一些这样的。那么，哥德尔的不完整性在这里有什么关系呢？$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

附言：我对补充版本的先前版本表示不礼貌表示歉意。

我认为您的问题可以归结为“当使用某种形式逻辑进行形式验证时，我能保证逻辑是一致的吗？”。答案是：没有。那是你必须假设的。正式验证并不能消除所有假设。它只会帮助您更清楚自己的假设，并可能帮助您确保从看起来合理的假设开始。

如果您使用标准逻辑，通常大多数人都会乐于假设逻辑是一致的，即使他们没有这一事实的证明。确实有一天我们可能会发现逻辑实际上是不一致的……但是大多数人认为这不太可能。

在某些情况下，一个人可以证明一个逻辑是一致的，但是这需要使用另一种更强大的逻辑，在这种情况下，我们必须假设第二个逻辑是一致的，因此我们仍然需要做一些假设（假设某些逻辑是一致的）。 ）。如果您认为第二种逻辑可能是一致的，这可以作为证据证明第一种逻辑可能是一致的，但是推理必须在某个地方触底反弹-我们必须假设某些事情，而不能证明。

参见，例如希尔伯特的第二个问题以及有关ZFC一致性的讨论（以及此，此，此以及可能还有更多）。

您的文章涉及许多有趣的哲学要点。

布尔逻辑的一致性

经典逻辑中的证明一致性理论问题并不像您想象的那么可怕。它基本上减少到以下内容：

我们可以将布尔逻辑定义为对真值1和的逻辑运算函数的集合0。但是我们怎么知道0≠1呢？

（请注意，我只是将0和1用作两个真值的抽象符号；特别是，在此我不假设任何整数的概念）

我们当然不知道这0和1是不同的。但是布尔逻辑是如此简单，以至于拒绝这种可能性是一种极端的怀疑态度。

但是经典的命题逻辑简化了这一点。回想一下，我们可以以任何方式将布尔值分配给原子命题，这扩展到为可以从原子命题构造的所有命题分配值。

“从P您可以推断出Q” 的表述实际上只是一个排序关系；它与“ v(P) ≤ v(Q)为每个v将真值分配给原子命题的函数成立”的主张意义相同。

命题逻辑的推理规则恰好是处理排序的性质≤。用反证法证明，尤其是观察，如果P ≤ 0的话P = 0。

而回到您的问题......如果我们知道这两个P ≤ 0和¬P ≤ 0，T母鸡真值，我们将最终得出结论，堵漏后0=1; 对与错意味着同一件事。

因此，如果您确信“ true”和“ false”的含义不同，那么您应该对布尔逻辑的一致性也具有类似的信心。

直觉逻辑中的矛盾证明

一个人应该小心地注意到，矛盾证明最好表述为：

• 如果可以从中得出矛盾P，则可以得出结论¬P

实际上，可以将否定定义为具有此属性的连接词。例如，在Heyting代数中，通常会看到¬P定义为P→0。

注意，特别是特殊情况

• 如果可以从中得出矛盾¬P，则可以得出结论¬¬P

你描述为“反证法”来自识别¬¬P用P。直觉逻辑不假定它们是等效的。

作为正式合同的一致性

编码逻辑还有更多的计算形式主义。请参见简单地键入lambda演算，依赖类型，尤其是“命题作为类型”范例。

无需赘述，矛盾基本上被视为正式合同。有一个类型，我将其称为0，并且有一个约定“这些功能不能用于构造类型的元素0”。

如果这样的系统如此大胆以至于允许您构造一个函数T → 0，那么如果它确实遵守合同，则意味着同样不可能构造任何类型的对象T。这是关于矛盾证明的含义的计算观点。

最终，这与例如返回一个承诺不返回空指针的指针的C函数或一个承诺不引发异常的C ++函数没有太大区别。

再回头再回到经典逻辑，这就是我们正在做的事情。

我们提供了正式合同，例如“根据Peano的公理，推论规则将不允许您产生矛盾”。如果该合同确实得到维护，那么如果您能够证明这¬P意味着矛盾，那么P也就不能暗示矛盾。

如果有可能违反合同，我们可以简单地说“ Peano的公理不一致”。

当用来保证正式声明的真实性时，所有证明都隐含地假定它们所基于的系统的一致性。这是因为，如果系统不一致，则会破坏系统的整体，并且我们所做的所有工作在那个系统中基本上是垃圾。

因为我们无法证明任何系统（或至少任何复杂系统）在该系统范围内都是一致的，所以我们必须将其视为经验事实，而不是形式上可证明的事实。基本上，如果数学家花费大量时间在形式系统上，并且从未发现任何矛盾，那么这是支持系统一致性的经验证据。另外，我们可能会使用功能更强大的系统来证明我们正在使用的系统的一致性（尽管该功能更强大的系统的一致性仍将是经验性的-降价在某处停止）。

从本质上讲，数学的情况与科学的情况相同。我们基于理论上所有可用的信息，根据看起来似乎正确的理论来构建数学，就像在科学中一样，您无法证明理论是正确的。您只能证明它不正确。

$S$

无论选择哪种数学公理系统，总会有发现该系统中矛盾的危险。这正是数学家不将新公理引入数学的原因：每个新公理都有可能与已经使用的公理不兼容，并且使用新公理的所有工作都必须进行重新评估。

附录：当我说一个声明对于一个给定的系统是正确的时，我的意思是，如果该系统是一致的，那么就不能在该系统中对它进行反驳。