什么

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什么意思吗？ $\log^{O(1)}n$

我知道big-O表示法，但是这种表示法对我来说毫无意义。我也找不到任何东西，因为搜索引擎也无法正确解释。

在上下文中，我发现它的句子为“ [...]，如果它使用空间并且最多使用则我们将其称为[efficiency]函数每件。” $O(\log n)$ $\log^{O(1)}n$

asymptotics landau-notation

— Oebele
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1

我同意一个人不应写这样的东西，除非一个人非常清楚这意味着什么（并告诉读者这是什么），并且始终如一地使用相同的规则。

— 拉斐尔

1

是的，应该改写成

(log(n))O(1) $\: (\log(n))^{O(1)} \;$ 。

$\;\;\;\;$

1

@RickyDemer这不是Raphael提出的重点。

准确地表示

。logblahn $\log^{\mathrm{blah}}n$

(logn)blah $(\log n)^{\mathrm{blah}}$

— David Richerby，2015年

4

@Raphael这是该字段中的标准符号。知道的人都会知道这意味着什么。

— Yuval Filmus 2015年

1

@YuvalFilmus我认为各种不同的答案是确凿的证据，证明您的说法是错误的，并且确实应该避免使用这种表示法。

— 拉斐尔

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您需要暂时忽略强烈的感觉，即“ ”位于错误的位置，并继续使用定义。意味着存在常数和，使得对于所有，。 $O$ $f(n) = \log^{O(1)}n$ $k$ $n_0$ $n\geq n_0$ $f(n) \leq \log^{k\cdot 1}n = \log^k n$

注意，表示。形式的函数通常称为多对数，您可能会听到人们说“ 是polylog 。 $\log^k n$ $(\log n)^k$ $\log^{O(1)}n$ $f$ $n$

你会发现，很容易证明，，自所有，其中。您可能想知道。答案是肯定的，因为对于足够大，，所以的足够大的 $2n=O(n)$ $2n\leq k n$ $n\geq 0$ $k=2$ $2\log n = \log^{O(1)}n$ $n$ $\log n\geq 2$ $2\log n \leq \log^2n$ 。 $n$

在相关说明中，您经常会看到写为多项式：相同的想法。 $n^{O(1)}$

— 大卫·里希比
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通用占位符约定不支持此功能。

— 拉斐尔

我撤消我的评论：您在所有重要的地方都写

，这就足够了。≤ $\leq$

— 拉斐尔

@Raphael好的。我还没有时间检查它，但我的感觉是您订购的量词可能与我的方式不同。我实际上不确定我们是否要定义相同的函数类。

— David Richerby

我认为你是我的定义（2），汤姆定义

。⋃c∈R>0{logcn} $\bigcup_{c \in \mathbb{R}_{>0}} \{ \log^c n \}$

— 拉斐尔

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这是符号，它可以被普遍接受的进行感的滥用占位约定：无论何时你发现朗道长期，通过替换它（在你的心中，或在纸上）任意函数。 $O(f)$ $g \in O(f)$

所以如果你发现

$\qquad f(n) = \log^{O(1)} n$

你要读

一些 $\qquad f(n) = \log^{g(n)} n$ $g \in O(1). \hspace{5cm} (1)$

注意从称差“ 到一些恒定的功率”：是一个明显的可能性。 $\log$ $g = n \mapsto 1/n$

警告：作者可使用甚至更多符号的滥用，想读

对于一些 $\qquad f(n) \in O(\log^{g(n)} n)$ $g \in O(1). \hspace{4.3cm} (2)$

注意（1）和（2）之间的区别；尽管可以在此处定义相同的一组正值函数，但这并不总是有效。请勿在表达式中随意移动！ $O$

— 拉斐尔
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3

我想，是什么使得它Tick是

是单调的，充分满射每个固定

。单调使

的位置等效，为（2）⇒（1）；反之，则要求

存在，如果

在函数范围之外，则

可能会失败。如果您想指出，四处移动

是危险的，并且不包含“野生”函数，那很好，但是在这种特定情况下，代表成本的函数是可以的。x↦logx(n) $x \mapsto \log^x(n)$

n $n$

O $O$

g $g$

f(n) $f(n)$

O $O$

— 吉尔斯（Gilles）'所以

@吉尔斯我将声明削弱为一般警告。

— 拉斐尔

1

这个答案已经过大量编辑，现在让我感到困惑：您现在是否声称（1）和（2）实际上是相同的？

— Oebele 2015年

@Oebele据我所知，它们不是一般的，而是这里。

— 拉斐尔

但是，类似

东西不匹配（1）但匹配（2）对吗？还是我现在很傻？3log2n $3 log^2 n$

— Oebele 2015年

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这意味着该函数最多随增大到某个常数的幂，即或或 ... $\log$ $\log^2(n)$ $\log^5(n)$ $\log^{99999}(n)$

— 汤姆·范德赞丹
source

当已知函数增长受

的某个常数幂限制时，可以使用此函数，但是特定常数未知或未指定。log $\log$

— 伊夫·戴乌斯特

通用占位符约定不支持此功能。

— 拉斐尔

2

“至多 ”表示存在一个常数，因此被测量的值为。 $\log^{O(1)} n$ $c$ $O(\log^c n)$

在更一般的上下文中，等同于存在（可能为负）的发言常数和，使得和。 $f(n) \in \log^{O(1)} n$ $a$ $b$ $f(n) \in O(\log^a n)$ $f(n) \in \Omega(\log^b n)$

很容易忽略下限。在那种情况下很重要的情况下（如果您仅对研究渐进增长感兴趣，这将是非常罕见的），则您不应完全相信作者实际上是指下限，而必须依靠上下文确保。 $\Omega(\log^b n)$

符号的字面意思是对家庭的功能做算术，导致家族的所有功能，其中。这与将乘以得出 $\log^{O(1)} n$ $\log^{g(n)} n$ $g(n) \in O(1)$ $O(g(n))$ $h(n)$ ，除了得到的结果并非如此简单。 $O(g(n) h(n))$

由于下界的细节是大概在不熟悉的领域，这是值得一些反例。回想一下，任何中是有界的大小 ; 有一个常数，对于所有足够大的，。 $g(n) \in O(1)$ $c$ $n$ $|g(n)| < c$

在查看渐近增长时，通常仅上限重要，因为例如您已经知道该函数为正。但是，一般而言，您必须注意下界。 $g(n) < c$ $g(n) > -c$

这意味着，与更典型的big-oh表示法用法相反，功能下降得太快的函数可能无法在；例如 $\log^{O(1)} n$ 因为

1 n = log - (log n) / (log log n) n \notin log O (1) n

$\frac{1}{n} = \log^{-(\log n) / (\log \log n)} n \notin \log^{O(1)} n$

在这里指数数量级的增长太快的有界

。

- log n log log n \notin O (1)

$-\frac{\log n}{\log \log n} \notin O(1)$

O(1) $O(1)$

一个有点不同的排序的一个反是。 $-1 \notin \log^{O(1)} n$

Can't I just take

$b=0$ and make your claimed lower bound go away?

— David Richerby

1

@DavidRicherby No,

$b=0$ still says that

$f$ is bounded below. Hurkyl: why isn't

$f(n) = 1/n$ in

$\log^{O(1)} n$ ?

— Gilles 'SO- stop being evil'

@Gilles: More content added!

@Gilles OK, sure, it's bounded below by 1. Which is no bound at all for "most" applications of Landau notation in CS.

— David Richerby

1) Your "move around

$O$ " rule does not always work, and I don't think "at most" usually has that meaning; it's just redundant. 2) Never does

$O$ imply a lower bound. That's when you use

$\Theta$ . 3) If and how negative functions are dealt with by a given definition of

$O$ (even without abuse of notation) is not universally clear. Most definitions (in analysis of algorithms) exclude them. You seem to assume a definition that bounds the absolute value, which is fine.

— Raphael