无等级的联合查找与路径压缩的复杂性

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Wikipedia表示不进行路径压缩的按等级合并会产生的摊销时间复杂度，而通过等级压缩和路径压缩会产生的摊销时间复杂度（其中是Ackerman函数的反函数）。但是，它没有提到没有联合等级的路径压缩的运行时间，这就是我通常自己实现的时间。 $O(\log n)$ $O(\alpha(n))$ $\alpha$

如果没有路径压缩优化，那么使用路径压缩优化进行联合查找的摊还时间复杂度是多少？

complexity-theory time-complexity union-find

— 菲利普·哈格隆德
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注意是Ackerman函数的逆函数，而不是。此处的“逆”是指作为函数的逆，而不是倒数：即，如果，，而不是。

α (n)

$\alpha(n)$

1 / A (n, n))

$1/A(n, n))$

f (n) = A (n, n)

$f(n)=A(n,n)$

α (n) = f^{- 1} (n)

$\alpha(n)=f^{-1}(n)$

1 / f (n)

$1/f(n)$

— DW

我了解这是一个相对较旧的问题，但是请参阅我的答案和相关文章：epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0097539703439088。复制边界时，我可能会错过一两个细节。在这种情况下，请提出建议:-)

— BearAqua

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Seidel和Sharir在2005年证明[1]，在操作上使用带有任意链接的路径压缩的复杂度大约为。 $m$ $O((m+n)\log(n))$

参见[1]，第3节（任意链接）：令表示具有操作和元素的联合查找的运行时。他们证明了以下几点： $f(m,n)$ $m$ $n$

索赔3.1。对于任何整数，我们都有。 $k>1$ $f(m, n)\leq (m+(k−1)n)\lceil \log_k(n) \rceil$

根据[1]，设置得到。 $k = \lceil m/n \rceil + 1$

f (m, n) \leq (2 m + n) \log_{⌈ m / n ⌉ + 1} n

$f(m, n)\leq (2m+n) \log_{\lceil m/n\rceil +1}n$

Tarjan和van Leeuwen在[2]第3节中使用更复杂的方法给出了相似的界限：

[2]的引理7。假设。在使用任何形式的压缩和幼稚链接实现的任何设置操作序列中，查找路径上的节点总数最多为通过减半和幼稚链接，查找路径上的节点总数最多为。 $m \geq n$ $(4m + n) \lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor}n \rceil$ $(8m+2n)\lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor} (n) \rceil$

[2]的引理9。假设。在使用压缩和朴素链接实现的任何设置操作序列中，查找路径上的节点总数最多为。 $m < n$ $n + 2m \lceil \log n\rceil + m$

[1]：R. Seidel和M. Sharir。自上而下的路径压缩分析。Siam J.Computer，2005年，第1期。34，第3号，第515-525页。

[2]：R. Tarjan和J. van Leeuwen。集并集算法的最坏情况分析。J. ACM，第 1984年4月31日，第2期，第245-281页。

— 熊水
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2

我不知道是什么摊销运行时间，但我可以举一个可能的原因，在某些情况下，可能要同时使用，而不仅仅是路径压缩：运行每工作时间的最坏情况是，如果您仅使用路径压缩，这比同时使用按等级和路径压缩的并集要大得多。 $\Theta(n)$

考虑恶意选择的 Union操作序列来生成深度为的树（它只是节点的顺序路径，其中每个节点都是前一个节点的子节点）。然后在最深的节点上执行单个“查找”操作需要时间。因此，每个操作的最坏情况运行时间为。 $n$ $n-1$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$

相比之下，采用按等级联合优化，每个操作的最坏情况运行时间为：没有任何一个操作会花费比更长的时间。对于许多应用程序而言，这无关紧要：仅所有操作的总运行时间（即摊销的运行时间）将很重要，而单个操作的最坏情况时间则无关紧要。但是，在某些情况下，每个操作的最坏情况时间可能很重要：例如，将每个操作的最坏情况时间减少为 $O(\log n)$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ 在交互式应用程序中，您要确保没有单个操作会导致长时间的延迟（例如，要确保没有单个操作会导致应用程序长时间冻结），这可能会很有用您想要确保始终满足实时保证的应用程序。

— DW
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