为什么认为分解大整数很困难？

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我在某处读到，发现最有效的算法可以计算时间的因数，但是我写的代码是或可能是具体取决于快速除法和模数。我敢肯定我在某个地方误解了一些东西，但是我不确定在哪里。这就是我以伪代码形式编写。 $O(\exp((64/9 \cdot b)^{1/3} \cdot (\log b)^{2/3})$ $O(n)$ $O(n \log n)$

function factor(number) -> list
    factors = new list
    if number < 0
        factors.append(-1)
        number = -number
    i = 2
    while i <= number
        while number % i == 0
            factors.append(i)
            number /= i
        i++
    return factors

— 暗影阴影
source

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Google“伪多项式”。

— 拉斐尔

该算法实际上非常慢-如果数字是质数，则在迭代（数字）次时循环。有一个非常简单的参数，可让您摆脱sqrt（数字）迭代的麻烦。

— gnasher729 2015年

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您正在将数字与表示所需的位数混淆。这里以表示所需要的比特的数目（所以）。这有很大的不同。甲 -time算法是 -time算法-在比特数的指数。相比之下，您发现的“高效”算法的运行时间在中为次幂。 $n$ $n$ $b =$ $n$ $b \approx \lg n$ $O(n)$ $O(2^b)$ $b$

$n = 2,000,000$ $b=21$ $n$ $O(2^{b^{1/3}})$ $O(2^b)$ $O(n)$

参见https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization

— D.W.
source

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I knew it was something simple like that.

— EnderShadow

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@EnderShadow: Also, the kind of numbers whose factoring is considered hard using currently available hardware, and used e.g. in RSA encryption, have

b > 1,000

$b > 1{,}000$ (i.e.

n > 2^{1,000}

$n > 2^{1{,}000}$ ) or so. As an exercise, assuming that you computer can run your

O (n)

$O(n)$ algorithm at, say, one billion iterations per second, calculate how many years it would take to factor

n \approx 2^{1,000}

$n \approx 2^{1{,}000}$ . (If your initial reaction is "that can't be right!", you've probably calculated it correctly.)

— Ilmari Karonen

1

您在这里大概有两个问题，一个关于您的代码的一般性问题和一个特定的问题。具体的一个在另一个答案中处理。标题中关于保理复杂性的一般问题非常深刻。不幸的是，没有（除大多数情况外）“很多专家尝试过并失败”以外，没有强大的科学证据表明保理是在P之外的，并且一些专家猜测它在P内；它被视为复杂性理论中最重要的（也是很难解决的）开放问题之一。经过数十年的“重击”，最佳算法是指数级的。分解复杂性是已知的“很少有的特殊问题”之一，它位于“完整的” P和NP 之间，但至今尚未归类。

如所指出的，直到1980年代中期RSA加密系统中使用（“大致”）复杂性才成为问题，其中加密安全性取决于假设。（另外两个“不太令人鼓舞”的相关数据点：在2000年代早期，著名/著名的AKS算法证明了用于P时间量子分解和素数测试的Shors算法已在P中使用。）可能的积极结果是，它的准多项式时间比NP complete弱（假设P≠NP和NP complete具有指数时间下限），但在技术上仍然“困难”。

到目前为止，尚未找到对此关键主题的出色调查。但是也可以

分解可能比您想像的容易 / Cohn
P / mathoverflow中的证据整数因式（在S中提到Sarnak认为它，Cohn也回答）
“ Impagliazzos的世界，个人对平均案件复杂性 / Impagliazzo的看法。谈论了一般与密码学（例如，保理）相关的复杂性理论假设/猜想。许多/大多数关键的假设（例如P与NP等）在几十年后仍然开放。

— z
source

另一个看似“边缘情况”的可能情况是因式分解可以在P中进行，但仍然没有可行的算法。又名星系算法

— vzn

应该提到的是，RSA是关于分解两个大质数的乘积（有人知道质数并将它们相乘，而其他人被给予乘积并应该找到质数）。可以想象，可能有一种算法可以分解两个大素数的乘积，但不能分解两个以上大素数的乘积。正如大质数（但事先不知道是大质数）的因式分解可以在多项式时间内完成。

— gnasher729