如何证明P NP？

我知道这似乎是一个非常愚蠢（或太明显而无法陈述）的问题。但是，我有时会感到困惑。

我们可以证明P NP$=$当且仅当我们可以设计一种在多项式时间内解决NP中任何给定问题实例的算法时。

但是，我不明白我们到底如何证明P NP。请原谅我以下类似的说法，因为它可能无关紧要，但在我看来告诉某人证明P不等于NP就像告诉某人证明上帝不存在。$\neq$

存在一系列问题，无论当前技术如何，具有多项式状态数的不确定性有限自动机（NFA）都无法解决这些问题（我知道这是一个草率的定义）。此外，我们拥有大量算法，这些算法会带来一些关键问题（最短路径，最小生成树，甚至是整数）多项式时间问题。$1 + 2 + \dots + n$

简而言之，我的问题是：如果我相信P NP$=$ ≠，那么您会说“然后显示您的算法可以在多项式时间内解决NP问题！”。假设我相信P NP。那你到底要问什么？您要我显示什么？$\neq$

答案显然是“您的证明”。但是，什么样的证据表明算法不存在？（在这种情况下，用于NP问题的多项式时间算法）

我知道有三种主要方法可以证明P NP$\,\neq\,$。

1. 表明NP中存在某些问题，  而P中则没有  。您可能熟悉这样的证明，即基于比较的排序需要时间来排序  项目的列表。原则上讲，可以得出类似的证明，表明对于任何常数 都无法在时间解决3SAT或某些其他NP完全问题。几何复杂度理论试图通过考虑问题所具有的对称性，使用代数几何和群表示理论中的工具来证明这种下界。 电路复杂性是另一个。n O （n c）$\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$

2. 表明P和  NP具有不同的结构性质。例如，P  在互补下是封闭的。如果您可以证明NP co-NP$\,\neq\,$（即NP  在补码下不闭合），则必须是P NP$\,\neq\,$。当然，这只是将问题推到了更深一层–您将如何证明NP co-NP$\,\neq\,$？

   另一种可能性是，我们知道NP  正是可以在所谓的存在性二阶逻辑中定义的一类问题。如果可以显示出没有与P完全对应的逻辑  （或者存在一个逻辑，但与），则P和  NP必须不同。一个相关的（实际上是等效的）想法是证明 在由一阶逻辑定义的归约条件下P没有完全问题，因为已知NP  在这些归约条件下确实有完全问题。$\exists\mathrm{SO}$

3. 证明某些问题不是NP-完成。如果P NP$\,=\,$，然后在每一个非平凡的问题  NP是NP下多项式时间-complete许多酮减量（“非平凡”在这里是指不或 ）。因此，如果您可以证明NP中的某些问题  不是NP -complete，那么我们必须具有P NP。＆Sigma; $\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$

简而言之，我的问题是：如果我相信P = NP，那么您会说“然后显示您的算法可以在多项式时间内解决NP问题！”。

不要忘记，您仍然必须证明您的算法可以解决问题，并且可以在多项式时间内运行。

假设我相信P≠NP。那你到底要问什么？您要我显示什么？

首先，尝试解释“为什么” P≠NP，以及为什么可以在适当的逻辑框架中使用此原因来证明P≠NP。然后草拟一个证明，并解释如何保护其最可疑的部分。接下来，将此证明分解为更简单的陈述，可以独立进行验证。

• 例如，ZFC提供的逻辑框架在证明模型（显式给定的公理集，通常甚至满足附加的逻辑特性）的存在方面很好（在某种意义上甚至太好了）。因此，如果您知道P≠NP的原因与具有某些奇怪属性的模型的存在有关，请首先解释此原因，然后说明如何在ZFC中构造相应的模型。
• 作为一个非示例，我认为“为什么” P≠NP的一个原因是，数学几乎可以近似物理世界中发生的所有事情，包括随机性。但是，众所周知的事实是，形式系统在证明给定的字符串，数字，“对象”或“工件”实质上是随机的能力上非常有限，因此，不可能将此理由用于证明在任何明确给出的确定性形式系统中。也许如果您设计了一个概率（量子）证明系统，那么您只能根据可用物理资源以有限的概率来验证系统中的某些证明...
• 作为一个可能的非示例，被排除的中间定律基本上反映了（数学）宇宙的静态视图，因此极不可能在动态宇宙中成立。现在，NP = coNP（或多项式层次结构的任何其他崩溃）基本上是关于时间复杂度的排除中间定律的近似版本，但是时间复杂度太接近动态宇宙，因此不可能实现。吉拉德（Girard）的线性逻辑等逻辑框架能够捕获宇宙的动态方面，因此...请注意，布劳威尔（Brouwer）处于类似情况，并且已经在希尔伯特（Hilbert）的就职演说直觉主义和形式主义中指出了程序的必然失败。 在1912年（解释了为什么采用循环推理），但仍然无法绘制1930年以来哥德尔的不完备性证明。
• 作为一个近似示例，让我们尝试捕获一些P≠NP的可用证据，即，旅行推销员多面体的指数下界，以及由于信鸽原理较弱而难以解决的基于分辨率的过程。在这种情况下，“为什么”是，依赖于某些自然（对于NP完全问题类别）原理（例如用于TSP的线性规划公式）或基于分辨率的算法无法有效地解决特定类别的NP完全问题SAT的证明方法。不同的论文给出了可以用来证明这一点的不同的独立原因，例如，有关TSP的最后一篇论文引用了“ LP的半定程序设计公式与单向量子通信协议之间的紧密联系”作为原因，而最后一篇有关分辨率的论文列举了两个独立的原因，即下界“对于代表鸽子洞原理的一类公式以及对于随机生成的公式”。
  您还可以观察到，随着时间的流逝，人们试图增强结果。TSP的初始结果仅涉及对称线性规划公式，而最新结果没有这种限制，并且除TSP之外，还适用于最大切割和最大稳定集问题。解决方案的初始结果仅考虑了基本的Davis-Putnam解决程序和一类人工反例，而最新结果涵盖了大类基于分辨率的方法，并提供了多种自然发生的反例。
  对于TSP，我不知道应该如何进一步增强结果，除了可能会通过解决TSP，最大切割和最大稳定集之外的其他问题来解决。为了解决问题，我将有很多想法如何进一步增强结果，但是我链接的文章来自2002年，Stephen Cook和Phuong Nguyen 于2010年出版了专着《逻辑证明复杂性的逻辑基础》，我什至没有浏览过，我猜想它已经涵盖了我的许多想法。有趣的是，尽管我们对P≠NP感兴趣，但随着时间的推移，这些结果实际上对我们大多数人几乎没有多大影响。题。即使在此之前，即使已经证明依赖于逻辑系统的算法没有等效的割断规则也无法有效解决可满足性问题，我们仍然相信在P≠NP上基本上没有进展，该问题本质上是仍然像以往一样广泛开放。