转换为布尔值，用于整数线性编程

我想在整数线性程序中表达以下约束：

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

我已经有整型变量，我承诺。如何以适合于整数线性规划求解器的形式表达上述约束？ $x,y$ $-100 \le x \le 100$

据推测，这将需要引入一些其他变量。我需要添加哪些新变量和约束？可以使用一个新变量完全完成此操作吗？二？

等效地，这是在问如何执行约束

y \neq 0 if and only if x \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

在我已经有暗示的约束的情况下和。 $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

（我的目标是修复https://cs.stackexchange.com/a/12118/755中的错误。）

linear-programming integer-programming

— DW
source

你尝试了什么？您是否尝试过通过一些示例来查看是否看到模式？如果是，您是否尝试过猜测然后尝试证明呢？

— 布里卡

h！我知道你在那儿做什么了，@ Brika。如果您想看看我尝试了什么，请在这里以及为什么错误的解释。如果您想查看我的下一个尝试，请参阅我的答案。感谢您阅读我的旧问题，如果将来可以改进它们，我很乐意听到您的任何建议！

— DW

这是非常好的。;）

— Brika

Answers:

我想我可以用一个额外的二元变量做 $\delta \in \{0,1\}$ ：

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

更新资料

假设 $x$ 是一个连续变量。如果我们限制 $x$ 被整数值，那么第二个约束可被简化为：

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— 欧文·卡尔维拉根
source

我通过一个小程序对它进行了详尽的测试来验证了此正确性。谢谢您的解决方案！

— DW

@ErwinKalvelagen，能否请您使用二进制变量delta来解释您的逻辑，例如，如果y = {a：x> 0，b：x <0}，则为更一般的情况。

— 尼克

@Nick二进制变量用于为“ OR”构造建模。请参阅此处以回答您的问题。

— Erwin Kalvelagen '16

@ErwinKalvelagen，一个很好的答案，我尝试将您的方法应用于此处的问题cs.stackexchange.com/questions/64794/…。

— 尼克

x

$x$

x

$x$

$0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

$z_1 = 1 \iff x \leq 0$ $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— 普拉莫德
source

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

$t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
source

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

@TLW，谢谢您抓住了它！我已经编辑了答案以修复该错误。我用一个小程序对它进行了详尽的测试，我认为它现在应该是正确的。

— DW