Collat​​z递归运行多长时间？

我有以下Python代码。

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

该算法的运行时间是多少？

尝试：

如果表示函数的运行时间。然后，我想我有 $T(n)$collatz(n)

$$\begin{cases} T(n)=1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) \text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

我认为如果n是偶数，则将为\ lg n，但一般如何计算递归？$T(n)$$\lg n$$n$

这是Collat​​z的猜想-仍然存在问题。
猜想是关于该序列对于任何输入都停止的证明，因为尚未解决，因此我们不知道如何解决该运行时递归关系，而且它可能根本不会停止-因此，直到经过证明，运行时间才是未知的，并且可能是。$\infty$

您正确翻译了代码。有很多解决递归的方法。

但是，目前尚不知道是否collatz所有人都停止n。这种说法被称为Collat​​z猜想。因此，没有已知的方法将对这种重复起作用。

我认为如果n为偶数，则将为lg $T(n)$$\lg n$$n$

为何如此？我想您正在考虑，对此您的主张是正确的。这表明这种递归不是我们可以通过以指数方式研究几个点来解决Θ的情况（另请参见此处）。$n=2^k$$\Theta$

时间复杂度函数为

$$\begin{cases} T(n)= O(1) \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + O(1) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + O(1)\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

如果您对渐近时间复杂度感兴趣，可以将其重写为以下内容。

$$\begin{cases} T(n)= 1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + 1 \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + 1\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

它甚至不知道所产生的TM （参见停机问题为每个）ñ。因此，很自然，如果我们甚至不知道是否每n暂停一次，我们就无法测量停止的时间。另请参阅/math/2694/what-is-the-importance-of-the-collat​​z-conjecture。$\langle M,1^n\rangle \in Halt$$n$$n$

Collat​​z猜想是Collat​​z在1937年提出的非常著名的猜想。许多著名的数学家都花了无数小时试图解决这个猜想，但徒劳无功。甚至保罗·埃尔德斯（PaulErdős）也对Collat​​z猜想说：“数学尚未为解决此类问题做好准备。”

$n$$odd$$n$$3n+1$

$T(n) = 2T(n/2) +n$$T(0)$$T(1)$

$3n+1$

如果n为偶数，则T（n）= T（n / 2）+1。但是然后n / 2很有可能甚至都没有，因此您被困在那里。

发生的事情是，您学到的漂亮的小规则遇到了一个实际的问题，并且这些规则没有用。他们撞到砖墙，首先面对，然后很痛。帮自己一个忙，并手动遵循T（7）的递归，然后告诉您是否仍然认为这与lg n有关。

如果您认为这与原始问题无关，因为7不是偶数：每当n为奇数时，T（n）= T（3n +1），而3n +1是偶数，因此如果T（n）为对数n如果n为偶数，则每当n> 1为奇数时，它将为log（3n +1）+1。